ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ

គេមានចំនួនពិតថេរ C ។ សន្មតអនុគមន៍ថេរ f មានតំលៃស្មើ C គេបាន៖

$\forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R^{*}} ,{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {C-C}{h}}=0$

ដូច្នេះ

$\color {blue}\forall x\in \mathbb {R} ,f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=0$ ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ចំនួនថេរគឺស្មើសូន្យ។

ឧទាហរណ៍៖គណនាដេរីនៃ f(x) = 25 ។

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-25}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(25-25)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {0}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}0=0$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី១

គេមានក្រាបនៃអនុគមន៍ f(x) = 5x - 1 ។ គណនាមេគុណប្រាប់ទិសនៃក្រាប f(x) ត្រង់ចំនុចដែលមានកូអរដោនេ (2,6)។

គេបាន

${\begin{aligned}f'(2)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(2+h)-f(2)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {5(2+h)-1-(5\cdot 2-1)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {10+5h-1-10+1}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {5h}{h}}\\&=5\end{aligned}}$

ដូចនេះតំលៃនៃមេគុណប្រាប់​ត្រង់ចំនុចមួយ​នៃអនុគមន៍ជាតំលៃដេរីវេនៃអនុគមន៍​ត្រង់ចំនុចនោះ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី២ (អនុគមន៍ការ៉េ)

ឧបមាថាគេមានអនុគមន៍ f កំនត់លើ $\mathbb {R}$ ដោយ

$\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}$

$\forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R} ^{*},{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}$

គេអាចកំនត់មេគុណប្រាប់ទិសនៃខ្សែកោងតាមរយៈដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍មេគុណប្រាប់ទិសនៃខ្សែកោង f(x) = x² កំនត់ដោយ

$f'(x)\,$	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}$
	$=\lim _{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x$

ចំពោះគ្រប់តំលៃ x, មេគុណប្រាប់ទិសនៃអនុគមន៍ $f(x)=x^{2}\,$ គឺ $f'(x)=2x\,$ ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី n

សំរាយបញ្ជាក់ :

គេមានអនុគមន៍ f:

$f(x)=x^{n}\,$ កំនត់លើ ${I}\,$

$h\not =0$

$\forall a\in {I},\forall {(a+h)}\in {I}\,$

$t(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

$t(h)={\frac {(a+h)^{n}-a^{n}}{h}}$

$t(h)={\frac {(a^{n}+na^{n-1}h+p_{3}a^{n-2}h^{2}+p_{4}a^{n-3}h^{3}...p_{n}ah^{n-1}+p_{n+1}h^{n})-a^{n}}{h}}$

ដែលមេគុណ $p_{i}$ ត្រូវបានអោយដោយត្រីកោណប៉ាស្កាល់ ( $p_{1}=1$ និង $p_{2}=n$)។ គេអាចបំបាត់ $a^{n}$ តាម $h$ ។

$t(h)=na^{n-1}+p_{3}a^{n-2}h+p_{4}a^{n-3}h^{2}...p_{n}ah^{n-2}+p_{n+1}h^{n-1}\,$

ដូចនេះ : $f'(a)=\lim _{h\rightarrow 0}t(h)=na^{n-1}$

សំគាល់: អនុគមន៍គ្រប់ n អាចអោយគេរកបាននូវដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ និងរឺសទី n របស់វា។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ $n<2$ នោះអនុគមន៍នឹងមិនមានដេរីវេត្រង់ ០ ទេ។

ឧទាហរណ៍ដេរីវេរីនៃអនុគមន៍ពហុធាដឺក្រេទី៣

ចូរគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រោម

១. $y=2x^{3}+6x^{2}-4x+{\frac {9}{\pi }}\,$

២. $y=-x^{3}-5x^{2}+{\frac {2}{3}}x-1\,$

៣. $y={\frac {5}{17}}x^{3}+x^{2}-2x+e\,$

ដេរីវេ:

១.. $y=2x^{3}+6x^{2}-4x+{\frac {9}{\pi }}\,$

$y'=(2x^{3})'+(6x^{2})'-(4x)'+\left({\frac {9}{\pi }}\right)'\,$

$y'=6x^{2}+12x-4+0\,$

$y'=2(3x^{2}+6x-2)\,$

២.. $y=-x^{3}-5x^{2}+{\frac {2}{3}}x-1\,$

$y'=-(x^{3})'-(5x^{2})'+\left({\frac {2}{3}}x\right)'-(1)'\,$

$y'=-3x^{2}-10x+{\frac {2}{3}}-0\,$

$y'=-3x^{2}-10x+{\frac {2}{3}}\,$

៣. $y={\frac {5}{17}}x^{3}+x^{2}-2x+e\,$

$y'=\left({\frac {5}{17}}x^{3}\right)'+(x^{2})'-(2x)'+(e)'\,$

$y'={\frac {5\times 3x^{2}}{17}}+2x-2+0\,$

$y'={\frac {15x^{2}}{17}}+2x-2\,$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញារឹស √

ឧបមាគេមានអនុគមន៍ $f(x)={\sqrt {x}}$

$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},\forall h\in \mathbb {R} ^{*},h>-x,f'(x)=\quad {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}$

$={\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}$

$={\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}$

គេបាន

$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

ម្យ៉ាងទៀត

$\forall h\in \mathbb {R} _{+}^{*},{\frac {f(h)-f(0)}{h}}={\frac {\sqrt {h}}{h}}={\frac {1}{\sqrt {h}}}$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(h)-f(0)}{h}}=+\infty$

ដូច្នេះ f គ្មានដេរីវេត្រង់ ០ ទេ។

• ដូចគ្នាដែរចំពោះឧទាហរណ៍ខាងលើ ប៉ុន្តែឥឡូវយើងរកដេរីវេនៃដេរីវេ (មានន័យថារកដេរីវេទី២នៃអនុគមន៍ $f(x)={\sqrt {x}}$ )
  

ឧបមាថាគេមាន $f(x)={\sqrt {x}}$:

នោះគេបានដេរីវេទី២នៃ f(x) កំនត់ដោយ

${\begin{aligned}f''(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{2h}}\left({\frac {1}{\sqrt {x+h}}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{2h}}\left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x+h}}}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{2h}}\left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x+h}}}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}\times {\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {x+h}}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x+h}}}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{2h}}\left({\frac {x-(x+h)}{x{\sqrt {x+h}}+(x+h){\sqrt {x}}}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{2}}\left({\frac {-1}{x{\sqrt {x+h}}+(x+h){\sqrt {x}}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {-1}{x{\sqrt {x}}+x{\sqrt {x}}}}\right)\\&=-{\frac {1}{4x{\sqrt {x}}}}\end{aligned}}$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលមានស្វ័យគុណជាចំនួនពិត b

គេមានអនុគមន៍ y ដែល

$y(x)=ax^{b}\qquad a\not =0,b\in \mathbb {R}$

នោះគេបានដេរីវេបន្តបន្ទាប់នៃ y កំនត់ដោយ

${\begin{aligned}y'(x)&=abx^{b-1}\\y''(x)&=ab(b-1)x^{b-2}\\y'''(x)&=ab(b-1)(b-2)x^{b-3}\\y^{(4)}(x)&=ab(b-1)(b-2)(b-3)x^{b-4}\\\cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots \\y^{(n)}(x)&=ab(b-1)(b-2)(b-3)\cdots (b-n+1)x^{b-n}\\&=a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}\\\end{aligned}}$

ដូចនេះគេបានដេរីវេទី n នៃ y ត្រូវបានផ្តល់អោយនៅលើចន្លោះកំនត់ជាក់លាក់ដោយកន្សោមខាងក្រោម៖

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad :\qquad y^{(n)}(x)=a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}$