រូបមន្តអយល័រ៖ ភាពខុសគ្នារវាងកំណែនានា

ខ្លឹមសារដែលបានលុបចោល ខ្លឹមសារដែលបានសរសេរបន្ថែម
svg
បន្ទាត់ទី១៖
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណមាត្រ]]
[[ឯកសារ:Euler's formula.svg|right|thumb|<center>រូបមន្តអយល័រ <math>\mathrm e^{\mathrm i\varphi}=\cos\varphi+\mathrm i\sin\varphi</math></center>]]
'''រូបមន្ត​អយល័រ'''​ (Euler's formula) យកឈ្មោះតាមលោក [[លេអុនហាដ អយល័រ]] (Leonhard Euler) គឺជា​រូបមន្ត​គណិតវិទ្យា​ក្នុង​ការ​គណនា​​កុំផ្លិចដែលបង្ហាញ​ទំនាក់ទំនង​យ៉ាង​ជិតស្និត​រវាង​[[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]] និង [[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]]​កុំផ្លិច។
 
រូបមន្តអយល័រពោលថា​ចំពោះគ្រប់​[[ចំនួនពិត]]​ <math>\ x</math> គេបាន
: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>
 
ដែល
* <math>\ e</math> គឺជា​[[គោលនៃលោការីតនេពែ]] ([[លោការីតធម្មជាតិ]])
* <math>\ i</math> គឺជា​[[ឯកតានិម្មិត]] (ឬហៅថា​ចំនួននិម្មិត)
* <math>\ \sin</math> និង <math>\ \cos </math> គឺជា​​[[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]]
 
រូបមន្ត​អយល័រ​នៅតែពិតបើទោះបីជា <math>\ x</math> ជា​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​ក៏ដោយ​។
 
== ប្រវត្តិ ==
រូបមន្តអយល័រ​ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់​ដំបូង​ដោយ [[រ៉ូចឺ កូត្ស]] [[:en:Roger Cotes|Roger Cotes]] ក្នុងឆ្នាំ ១៧១៤ ជារាង
 
:<math> \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ </math>
 
(ដែល ln តំណាងអោយ​[[លោការីតនេពែ]] (ឬហៅម្យ៉ាងទៀតថា​លោការីតធម្មជាតិ) មានន័យថាជា​​[[លោការីត]] log ដែលមានគោល e)
 
លោក​[[អយល័រ]]​​ជាអ្នកបោះពុម្ព​រូបមន្ត​ជា​រាង​បច្ចប្បន្ន​នេះ​នៅ​ឆ្នាំ​១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះ​សំរាប់សំរាយបញ្ជាក់​របស់​គាត់​ចំពោះ​[[ស៊េរីអនន្ត]]​ពីរ​ស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរ​មិន​បាន​បង្ហាញ​តំណាង[[ធរណីមាត្រ]]​នៃ​រូបមន្តទេៈ តំណាង​នៃ​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​ជា​[[ចំនុច]]​នៅ​ក្នុង​[[ប្លង់កុំផ្លិច]]​បានលេចឡើង​នៅ​៥០ឆ្នាំ​ក្រោយ​មក។​ លោក [[អយល័រ]]​បាន​ចាត់ទុក​វា​ជាធម្មតា​ដើម្បី​ណែនាំ​ទៅ​កាន់​សិស្ស​របស់​គាត់​អំពី​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​​មាន​ភាពស្រួល​ច្រើនជាង​អ្វី​ដែល​ពួកយើង​ធ្វើ​សព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុង​សៀវភៅ'''ពិជគណិតថ្នាក់ដំបូង'''របស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់​បាន​ណែនាំ​អំពី​ចំនួន​ទាំងនេះ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ម្តង និង​បាន​ប្រើប្រាស់​​ពួកវា​តាម​រយៈ​វិធីសាស្រ្ត​ធម្មតា។
 
== ការអនុវត្តក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិច ==
[[ឯកសារ:Euler's formula.svg|thumb|right|<math>\ e^{ix}</math> គូសជា​[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]ក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]]]
រូបមន្ត​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​បកស្រាយ​ដោយ​និយាយថា [[អនុគមន៍]] <math>\ e^{ix}</math> គូសជា​[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]ក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]ជា <math>\ x</math> [[រ៉ាដ្យង់]]​តាមរយះ[[ចំនួនពិត]] ។ ទីនេះ <math>\ x</math> គឺជា​[[មុំ]]​ដែល​[[បន្ទាត់]]​មួយ​ភ្ជាប់​គល់​តំរុយ​ជា​មួយ​[[ចំនុច]]​មួយ​នៅ​លើ​[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]​បង្កើត​ជាមួយ​អ័ក្សពិត​ផ្នែក​វិជ្ជមាន​តាម​ទិសដៅ​ដូច​ទ្រនិចនាឡិកា​និង​គិតជា​[[រ៉ាដ្យង់]]​។
 
សំរាយបញ្ជាក់​ដើម​គឺ​ពឹងផ្អែក​ទៅ​លើ​ការពន្លាត​ជា​​[[ស៊េរីតេល័រ]]​នៃ​[[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]] <math>\ e^z</math> (ដែល <math>\ z</math> ជា​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​) និង​ការពន្លាតជា​[[ស៊េរីតេល័រ]]​​នៃ​[[អនុគមន៍ស៊ីនុស]] <math>\ \sin x</math> និង [[កូស៊ីនុស]] <math>\ \cos</math> ចំពោះ​[[ចំនួនពិត]] <math>\ x</math> ។ តាម​ពិត​សំរាយបញ្ជាក់​ដូចគ្នា​បង្ហាញ​ថា​​រូបមន្តអយល័រ​ពិតផងដែរ​ចំពោះ​គ្រប់​[[ចំនួនកុំផ្លិច]] <math>\ z</math> ។
 
[[ចំនុច]]​មួយ​នៅ​ក្នុង​[[ប្លង់កុំផ្លិច]]អាច​​ត្រូវ​បាន​​បង្ហាញ​​ជា​​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​ដៅ​ក្នុង​[[ប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត]]​។ រូបមន្តអយល័រផ្តល់នូវតំលៃមធ្យមនៃគំលាតរវាង[[កូអរដោនេដេកាត]] និង [[កូអរដោនេប៉ូលែរ]]។ ទំរង់ប៉ូលែរបន្ថយចំនួណតួពីពីរទៅមួយ ដែលសំរួលក្នុងគណិតវិទ្យា​នៅពេលដែល​វា​ត្រូវបាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ក្នុង​ប្រមាណវិធីគុណ​ឬ​ស្វ័យគុណ​នៃ​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​។ [[ចំនួនកុំផ្លិច]] <math>\ z = x + iy</math> អាចសរសេរជា
:<math> z = x + iy = |z| (\cos \theta+ i\sin \theta) = |z| e^{i \theta}= r e^{i \theta} \,</math>
:<math> \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \theta- i\sin \theta) = |z| e^{-i \theta}= r e^{-i \theta} \,</math>
 
ដែល
:<math> x = \mathrm{Re}\{z\} \,</math> គឺជា​[[ផ្នែកពិត]]
:<math> y = \mathrm{Im}\{z\} \,</math> គឺជា​[[ផ្នែកនិម្មិត]]
:<math>|z| = r = \sqrt{x^2+y^2}</math> គឺជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច
:<math>\ \bar{z}</math> ជា​[[ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់]]​នៃ​ <math>\ z</math>
:<math>\theta= \arctan (\frac{y}{x})</math> គឺជា​អាគុយម៉ង់​នៃចំនួនកុំផ្លិច
 
<math>\ \theta</math> គឺជាអាគុយម៉ងនៃចំនួនកុំផ្លិច មានន័យថាគឺជា[[មុំ]]រវាងអ័ក្សពិត <math>\ x</math> និង វ៉ិចទ័រ <math>\ z</math> វាស់ក្នុងទិសដៅស្របនឹង​ទ្រនិច​នាឡិកា​និង​​គិត​ជា​[[រ៉ាដ្យង់]]​។
 
យើង​អាច​ប្រើ​រូបមន្តអយល័រ​ដើម្បី​កំនត់​[[លោការីត]]​នៃ​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​មួយ​។ យើង​ក៏​អាច​ប្រើ​និយមន័យ​នៃ​[[លោការីត]]​​ (ជាឆ្លាស់នៃ​[[អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]])​ ដែល
:<math>a = e^{\ln (a)}\,</math>
 
និង
 
:<math>e^a e^b = e^{a + b}\,</math>
 
ទំនាក់ទំនងទាំងពីរពិតចំពោះគ្រប់​[[ចំនួនកុំផ្លិច]] a និង b ។ ហេតុនេះយើងអាចសរសេរ
:<math> z = |z| e^{i \theta} = e^{\ln |z|} e^{i \theta} = e^{\ln |z| + i \theta}\,</math>
 
ចំពោះ <math>z\ne 0</math> ។ បំលាក់​[[លោការីត]]​លើអង្គទាំងសងខាង យើងបាន
: <math>\ln z= \ln |z| + i \theta \,</math>
 
តាមពិតទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំនត់និយមន័យសំរាប់​[[កុំផ្លិចលោការីត]]​។ លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លចមួយគឺជា​[[អនុគមន៍មានពហុតំលៃ]] ពីព្រោះ <math>\theta \,</math> មានពហុតំលៃ (មានតំលៃច្រើន) ។
 
ចុងក្រោយ រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
: <math>(e^a)^k = e^{a k} \,</math>
 
ផ្ទៀងផ្ទាត់​ចំពោះ​គ្រប់​[[ចំនួនគត់]]​ <math>\ k</math> រួមជាមួយ​រូបមន្តអយល័រ​ ដែលជាប់ទាក់ទងផងដែរនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និង [[រូបមន្តដឺម័រ]]​។
 
== ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រ ==
: <math>\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
: <math>\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}</math>
 
សមីការ​ទាំងពីរ​ខាងលើ​អាច​ទាញបាន​ដោយ​ការបូក​ឬ​ដករូបមន្ត​អយល័រ៖
 
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;</math>
: <math>e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;</math>
 
រូបមន្ត​ទាំងនេះ​ផ្តល់​និយមន័យ​អោយ​[[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]]​ចំពោះអាគុយម៉ង់ <math>\ x</math> នៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]] ។
 
ឧទាហរណ៍៖ តាង <math>\ x = iy</math> គេបាន
:<math> \cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) </math>
:<math> \sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -i\sinh(y) </math>
 
អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចអាចសំរួលជា[[ត្រីកោណមាត្រ]] ពីព្រោះវាងាយស្រួលសំរួលជាងស៊ីនុយសូអ៊ីត។​ គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍៖
 
: <math>
\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4} \\
& = \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}+\frac{e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}}{4} \\
& = \frac{\cos(x+y)}{2} + \frac{\cos(x-y)}{2}
\end{align}
</math>
 
គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីត​ជា​​[[ផ្នែកពិត]]​​នៃកន្សោម​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​ និង សរសេរជាកន្សោមនៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]]។ ឧទាហរណ៍៖
: <math>
\begin{align}
\cos(nx)+\cos((n-2)x) & = \mathrm{Re} \{\quad e^{inx}+e^{i(n-2)x}\quad \} \\
& = \mathrm{Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix})\quad \} \\
& = \mathrm{Re} \{\quad e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x\quad \} \\
& = 2\cos((n-1)x)\cos x
\end{align}</math>
 
រូបមន្ត​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​បង្កើត​របត់​ស៊ីនុយសូអ៊ីត​នៅចន្លោះ x [[រ៉ាដ្យង់]]​។
 
== សំរាយបញ្ជាក់ ==
=== សំរាយបញ្ជាក់​ដោយប្រើ​[[ស៊េរីតេល័រ]] ===
ការពន្លាត​ជា​[[ស៊េរី]]​នៃ[[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]]​ដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ
 
: <math> e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...
= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} </math>
 
និងអាចបន្លាយដល់​[[ចំនួនកុំផ្លិច]] x ។
 
ពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះ[[អនុគមន៍ស៊ីនុស]] និង [[កូស៊ីនុស]]គឺ
:<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n}</math>
:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}</math>
 
 
ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម
: <math>
i^0 = 1, \qquad
i^1 = i, \qquad
i^2 = -1, \qquad
i^3 = -i, \qquad
i^4 = 1, \ldots
</math>
 
ជាទូទៅចំពោះគ្រប់អិចស្ប៉ូសង់ជាចំនួនគត់ n គេបាន
: <math>
i^{\,4n} = 1, \qquad
i^{\,4n+1} = i, \qquad
i^{\,4n+2} = -1, \qquad
i^{\,4n+3} = -i
</math>
 
ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z យើងកំនត់អនុគមន៍និមួយៗទាំងនេះដោយស៊េរីខាងលើ ជំនួសអថេរពិត x ដោយអថេរកុំផ្លិច z ។ យើងបាន
 
: <math>\begin{align}
e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
&{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
&{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
&{}= \cos z + i\sin z
\end{align}</math>
 
ដូចនេះគេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល៖
: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>
 
=== សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​[[ដេរីវេ]] ===
គេមានអនុគមន៍ <math>\ f</math> (អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ
: <math>f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}} \ </math>
 
ដោយយោងតាមរូបមន្តផលគុណ និង ផលចែកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ <math>\ f(x) </math> គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ <math>\ f(x) </math> កំនត់ដោយ
:
<math>\begin{align}
f'(x)
&= \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \\
&= 0
\end{align}</math>
 
ហេតុនេះ <math>\ f</math> ជា​[[អនុគមន៍ថេរ]]​។ គេបាន
:<math>f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1</math>
:<math>\Rightarrow \frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1</math>
 
ដូចនេះ
: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>
 
=== សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល]]​បែប​ងាយ ===
តាងអនុគមន៍ ​ <math>f(x)=\cos x+i\sin x \,\!</math>
 
យើង​បាន
 
: <math>f'(x)=-\sin x+i\cos x=i\cdot \left( i\sin x+\cos x \right)</math>
: <math>f'(x)=i\cdot f(x)</math>
: <math>\frac{f'(x)}{f(x)}=i</math>
: <math>\int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\int{i\cdot dx}</math>
: <math>\ln \left( f(x) \right)=ix+c</math>
: <math>f(x)={e}^{ix+c} \,\!</math>
 
:: នោះ <math>{{e}^{ix+c}}=\cos x+i\sin x \,\!</math>
 
: រក​តម្លៃ <math>c \,\!</math> ដោយ​យក <math>x=0 \,\!</math>
 
:: នាំឲ្យ <math>{{e}^{c}}=\cos 0+i\sin 0=1 \,\!</math>
::: <math>\Rightarrow c=0</math>
ដូចនេះ
::: <math>{{e}^{ix}}=\cos x+i\sin x \,\!</math> ។
 
=== សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល]]​​បែប​ម្យ៉ាង​ទៀត ===
គេមានអនុគមន៍ <math>\ g(x) </math> ដែល
: <math>\ g(x) = e^{ix}</math>
 
ដោយចាត់ទុក <math>\ i</math> គឺជា​[[ចំនួនថេរ]] ដេរីវេទី១ និង ទី២ នៃ <math>\ g(x)</math> គឺ
: <math>g'(x) = i e^{ix} \ </math>
: <math>g''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \ </math> (ពីព្រោះ <math>\ i^2 = -1</math>)
ចេញ​ពី​ទំនាក់ទំនង​នេះ​គេ​អាច​បង្កើត​[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរ]]​លំដាប់២
: <math>g''(x) = -g(x) \ </math>
: <math>g''(x) + g(x) = 0 \ </math>
 
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់២ មានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ​ចំនួន​ពីរ​ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់​វា៖
: <math>g_1(x) = \cos x \ </math>
: <math>g_2(x) = \sin x \ </math>
 
ទាំង <math>\ \cos</math> និង <math>\ \sin</math> គឺជាអនុគមន៍ពិត​ដែល[[ដេរីវេ]]​ទី២​គឺ​មាន​សញ្ញាអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ខ្លួនវា។ [[បន្សំ​លីនេអ៊ែរ]]​នៃចំលើយ​ចំពោះ[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែន]]​ក៏ជាចំលើយមួយផងដែរ។​ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ
:<math>\begin{align} g(x) &= A g_1(x) + B g_2(x) \\ &= A \cos x + B \sin x \ \end{align}</math>
 
ដែល A និង B គឺជា[[ចំនួនថេរ]]​។ ប៉ុន្តែ​មិនមែន​គ្រប់​តំលៃ​ទាំងអស់​នៃ​ចំនួនថេរ​ទាំងពីរ​នេះ​សុទ្ធ​តែ​ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដើមដែលគេស្គាល់ចំពោះ <math>\ g(x) </math> ទេ​៖
: <math>g(0) = e^{i0} = 1 \ </math>
: <math>g'(0) = i e^{i0} = i \ </math>
 
តំលៃនៃលក្ខខណ្ឌដើមជំនួសក្នុងចំលើយទូទៅ
 
: <math>g(0) = A \cos 0 + B \sin 0 = A \ </math>
: <math>g'(0) = -A \sin 0 + B \cos 0 = B \ </math>
 
គេបាន
 
: <math>g(0) = A = 1 \ </math>
: <math>g'(0) = B = i \ </math>
 
និង​ចុងក្រោយ
 
: <math>g(x) = e^{ix} = \cos x + i \sin x \ </math>
 
គឺជា​រូបមន្តអយល័រ​។
 
 
 
 
 
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណមាត្រ]]
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ទ្រឹស្តីបទគណិតវិទ្យា]]
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ចំនួនកុំផ្លិច]]