រូបមន្តអយល័រ៖ ភាពខុសគ្នារវាងកំណែនានា
ខ្លឹមសារដែលបានលុបចោល ខ្លឹមសារដែលបានសរសេរបន្ថែម
No edit summary |
No edit summary |
||
បន្ទាត់ទី១៩៖
(ដែល ln តំណាងអោយ[[លោការីតនេពែ]] (ឬហៅម្យ៉ាងទៀតថាលោការីតធម្មជាតិ) មានន័យថាជាលោការីត log ដែលមានគោល e)
លោក[[អយល័រ]]ជាអ្នកបោះពុម្ពរូបមន្តជារាងបច្ចប្បន្ននេះនៅឆ្នាំ១៧៤៨
== ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រ ==
បន្ទាត់ទី៥៧៖
រូបមន្តនេះត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីបង្កើតរបត់ស៊ីនុយសូអ៊ីតនៅចន្លោះ x [[រ៉ាដ្យង់]]។
== សំរាយបញ្ជាក់ ==
===សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ[[ស៊េរីតាយល័រ]]===
ការពន្លាតជា[[ស៊េរី]]នៃ[[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]]ដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ
: <math> e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...
= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} </math>
និងអាចបន្លាយដល់[[ចំនួនកុំផ្លិច]] x ។
ឥឡូវយើងបញ្ចូល <math>\ i</math> ទៅក្នុងអិចស្ប៉ូសង់ យើងទទួលបាន
: <math>
e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(ix)}^n}{n!}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n x^n}{n!}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} i^n
</math>
ដោយតំរៀបជាក្រុមឡើងវិញ យើងបាន
: <math>
e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(
\frac{x^{4n}} {(4n)!} i^{\,4n}
+ \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i^{\,4n+1}
+ \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} i^{\,4n+2}
+ \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i^{\,4n+3}
\right)
</math>
ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម
: <math>
i^0 = 1, \qquad
i^1 = i, \qquad
i^2 = -1, \qquad
i^3 = -i, \qquad
i^4 = 1, \ldots
</math>
ជាទូទៅចំពោះគ្រប់អិចស្ប៉ូសង់ជាចំនួនគត់ n គេបាន
: <math>
i^{\,4n} = 1, \qquad
i^{\,4n+1} = i, \qquad
i^{\,4n+2} = -1, \qquad
i^{\,4n+3} = -i
</math>
ហេតុនេះ
: <math>
e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(
\frac{x^{4n}} {(4n)!}
+ \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i
- \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}
- \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i
\right)
</math>
តំរៀបតួនិមួយៗឡើងវិញ យើងបាន
: <math>
e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(
\frac{x^{4n}} {(4n)!}
- \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}
\right)
+
i\,\sum_{n=0}^\infty \left(
\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}
- \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}
\right)
</math>
ម្យ៉ាងវិញទៀតដោយពន្លាតជាស៊េរីតាយល័រចំពោះអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺ
: <math> \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...
= \sum_{n=0}^\infty \left(
\frac{x^{4n}} {(4n)!}
- \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}
\right)
</math>
: <math> \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...
= \sum_{n=0}^\infty \left(
\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}
- \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}
\right)
</math>
ដោយជំនួសពន្លាតជាស៊េរីនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺក្នុង <math>\ e^{ix}</math> គេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល។
: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>
===សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ[[ដេរីវេ]]===
គេមានអនុគមន៍ <math>\ f</math> (អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ
: <math>f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}} \ </math>
ដោយយោងតាមរូបមន្តផលគុណ និង ផលចែកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ <math>\ f(x) </math> គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ <math>\ f(x) </math> កំនត់ដោយ
:
<math>\begin{align}
f'(x)
&= \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}} \\
&= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}} \\
&= 0
\end{align}</math>
ហេតុនេះ <math>\ f</math> ជា[[អនុគមន៍ថេរ]]។ គេបាន
:<math>f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1</math>
:<math>\Rightarrow \frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=1</math>
ដូចនេះ
: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>
[[Category:ត្រីកោណមាត្រ]]
[[Category:ទ្រឹស្តីបទគណិតវិទ្យា]]
[[Category:ចំនួនកុំផ្លិច]]
[[Category:គណិតវិទ្យា]]
| |||