រូបមន្តអយល័រ៖ ភាពខុសគ្នារវាងកំណែនានា
ខ្លឹមសារដែលបានលុបចោល ខ្លឹមសារដែលបានសរសេរបន្ថែម
តNo edit summary |
No edit summary |
||
បន្ទាត់ទី១៣៖
== ប្រវត្តិ ==
រូបមន្តអយល័រត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដំបូងដោយ រ៉ូជឺ កូត [[:en:Roger Cotes|Roger Cotes]] ក្នុងឆ្នាំ ១៧១៤ ជារាង
:<math> \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ </math>
បន្ទាត់ទី២១៖
លោក[[អយល័រ]]ជាអ្នកបោះពុម្ពរូបមន្តជារាងបច្ចប្បន្ននេះនៅឆ្នាំ១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះសំរាប់សំរាយបញ្ជាក់របស់គាត់ចំពោះ[[ស៊េរីអនន្ត]]ពីរស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរមិនបានបង្ហាញតំណាងធរណីមាត្រនៃរូបមន្តទេៈ តំណាងនៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]]ជា[[ចំនុច]]នៅក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]បានលេចឡើងនៅ៥០ឆ្នាំក្រោយមក។ លោក អយល័របានចាត់ទុកវាជាធម្មតាដើម្បីណែនាំទៅកាន់សិស្សរបស់គាត់អំពី[[ចំនួនកុំផ្លិច]]មានភាពស្រួលច្រើនជាងអ្វីដែលពួកយើងធ្វើសព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុងសៀវភៅពិជគណិតថ្នាក់ដំបូងរបស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់បានណែនាំអំពីចំនួនទាំងនេះយ៉ាងហោចណាស់ម្តង និងបានប្រើប្រាស់ពួកវាតាមរយៈវិធីសាស្រ្តធម្មតា។
== ការអនុវត្តន៍ក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិច ==
[[រូបភាព:Euler's formula.svg|thumb|right|<math>\ e^{ix}</math> គូសជា[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]ក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]]]
រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានគេបកស្រាយដោយនិយាយថា[[ អនុគមន៍]] <math>\ e^{ix}</math> គូសជា[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]ក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]ជា <math>\ x</math> [[រ៉ាដ្យង់]]តាមរយះ[[ចំនួនពិត]] ។ ទីនេះ <math>\ x</math> គឺជា[[មុំ]]ដែល[[បន្ទាត់]]មួយភ្ជាប់គល់តំរុយជាមួយ[[ចំនុច]]មួយនៅលើ[[រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ]]បង្កើតជាមួយអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមានតាមទិសដៅដូចទ្រនិចនាឡិកានិងគិតជា[[រ៉ាដ្យង់]]។
សំរាយបញ្ជាក់ដើមគឺពឹងផ្អែកទៅលើការពន្លាតជា[[ស៊េរីតាយល័រ]]នៃ[[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]] <math>\ e^z</math> (ដែល <math>\ z</math> ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច]]) និងការពន្លាតជា[[ស៊េរីតាយល័រ]]នៃ[[អនុគមន៍ស៊ីនុស]] <math>\ \sin x</math> និង [[កូស៊ីនុស]] <math>\ \cos</math> ចំពោះ[[ចំនួនពិត]] <math>\ x</math> ។ តាមពិតសំរាយបញ្ជាក់ដូចគ្នាបង្ហាញថារូបមន្តអយល័រពិតផងដែរចំពោះគ្រប់[[ចំនួនកុំផ្លិច]] <math>\ z</math> ។
[[ចំនុច]]មួយនៅក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]អាចត្រូវបានបង្ហាញជា[[ចំនួនកុំផ្លិច]]ដៅក្នុង[[ប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត]]។ រូបមន្តអយល័រផ្តល់នូវតំលៃមធ្យមនៃគំលាតរវាង[[កូអរដោនេដេកាត]] និង [[កូអរដោនេប៉ូលែរ]]។ ទំរង់ប៉ូលែរបន្ថយចំនួណតួពីពីរទៅមួយ ដែលសំរួលក្នុងគណិតវិទ្យានៅពេលដែលវាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ក្នុងប្រមាណវិធីគុណឬស្វ័យគុណនៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]]។ [[ចំនួនកុំផ្លិច]] <math>\ z = x + iy</math> អាចសរសេរជា
:<math> z = x + iy = |z| (\cos \theta+ i\sin \theta) = |z| e^{i \theta}= r e^{i \theta} \,</math>
:<math> \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \theta- i\sin \theta) = |z| e^{-i \theta}= r e^{-i \theta} \,</math>
ដែល
:<math> x = \mathrm{Re}\{z\} \,</math> គឺជា[[ផ្នែកពិត]]
:<math> y = \mathrm{Im}\{z\} \,</math> គឺជា[[ផ្នែកនិម្មិត]]
:<math>|z| = r = \sqrt{x^2+y^2}</math> គឺជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច
:<math>\ \bar{z}</math> ជា[[ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់]]នៃ <math>\ z</math>
:<math>\theta= \arctan (\frac{y}{x})</math> គឺជាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច
<math>\ \theta</math> គឺជាអាគុយម៉ងនៃចំនួនកុំផ្លិច មានន័យថាគឺជាមុំរវាងអ័ក្សពិត <math>\ x</math> និង វ៉ិចទ័រ <math>\ z</math> វាស់ក្នុងទិសដៅស្របនឹងទ្រនិចនាឡិកានិងគិតជា[[រ៉ាដ្យង់]]។
យើងអាចប្រើរូបមន្តអយល័រដើម្បីកំនត់[[លោការីត]]នៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]]មួយ។ យើងក៏អាចប្រើនិយមន័យនៃ[[លោការីត]] (ជាឆ្លាស់នៃ[[អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]]) ដែល
:<math>a = e^{\ln (a)}\,</math>
និង
:<math>e^a e^b = e^{a + b}\,</math>
ទំនាក់ទំនងទាំងពីរពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច a និង b ។ ហេតុនេះយើងអាចសរសេរ
:<math> z = |z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi}\,</math>
ចំពោះ <math>z\ne 0</math> ។ បំលាក់លោការីតលើអង្គទាំងសងខាង យើងបាន
: <math>\ln z= \ln |z| + i \phi \,</math>
តាមពិតទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំនត់និយមន័យសំរាប់[[កុំផ្លិចលោការីត]]។ លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លចមួយគឺជា[[អនុគមន៍មានពហុតំលៃ]] ពីព្រោះ <math>\phi \,</math> គឺជាពហុតំលៃ (មានតំលៃច្រើន) ។
ចុងក្រោយ រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
: <math>(e^a)^k = e^{a k} \,</math>
ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់[[ចំនួនគត់]] <math>\ k</math> រួមជាមួយរូបមន្តអយល័រ ដែលជាប់ទាក់ទងផងដែរនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និង [[រូបមន្តដឺម័រ]]។
== ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រ ==
: <math>\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
Line ១៦៨ ⟶ ២០៦:
ដូចនេះ
: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>
===សំរាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល]]===
គេមានអនុគមន៍ <math>\ g(x) </math> ដែល
: <math>\ g(x) = e^{ix}</math>
ដោយចាត់ទុក <math>\ i</math> គឺជា[[ចំនួនថេរ]] ដេរីវេទី១ និង ទី២ នៃ <math>\ g(x)</math> គឺ
: <math>g'(x) = i e^{ix} \ </math>
: <math>g''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \ </math> (ពីព្រោះ <math>\ i^2 = -1</math>)
ចេញពីទំនាក់ទំនងនេះគេអាចបង្កើត[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរ]]លំដាប់២
: <math>g''(x) = -g(x) \ </math>
ឬ
: <math>g''(x) + g(x) = 0 \ </math>
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់២ មានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរចំនួនពីរដែលផ្ទៀងផ្ទាត់វា៖
: <math>g_1(x) = \cos x \ </math>
: <math>g_2(x) = \sin x \ </math>
ទាំង <math>\ \cos</math> និង <math>\ \sin</math> គឺជាអនុគមន៍ពិតដែល[[ដេរីវេ]]ទី២គឺមានសញ្ញាអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ខ្លួនវា។ [[បន្សំលីនេអ៊ែរ]]នៃចំលើយចំពោះ[[សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែន]]ក៏ជាចំលើយមួយផងដែរ។ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ
:<math>\begin{align} g(x) &= A g_1(x) + B g_2(x) \\ &= A \cos x + B \sin x \ \end{align}</math>
ដែល A និង B គឺជា[[ចំនួនថេរ]]។ ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់តំលៃទាំងអស់នៃចំនួនថេរទាំងពីរនេះសុទ្ធតែផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដើមដែលគេស្គាល់ចំពោះ <math>\ g(x) </math> ទេ៖
: <math>g(0) = e^{i0} = 1 \ </math>
: <math>g'(0) = i e^{i0} = i \ </math>
តំលៃនៃលក្ខខណ្ឌដើមជំនួសក្នុងចំលើយទូទៅ
: <math>g(0) = A \cos 0 + B \sin 0 = A \ </math>
: <math>g'(0) = -A \sin 0 + B \cos 0 = B \ </math>
គេបាន
: <math>g(0) = A = 1 \ </math>
: <math>g'(0) = B = i \ </math>
និងចុងក្រោយ
: <math>g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{ix} = \cos x + i \sin x \ </math>
គឺជារូបមន្តអយល័រ។
[[Category:ត្រីកោណមាត្រ]]
| |||