វិគីភីឌា

រូបមន្តអយល័រ៖ ភាពខុសគ្នារវាងកំណែនានា

មើលប្រវត្តិបានរហ័ស
← កំណែប្រែមុននេះកំណែប្រែបន្ទាប់ →
ខ្លឹមសារដែលបានលុបចោល ខ្លឹមសារដែលបានសរសេរបន្ថែម
តាមគំហើញអត្ថបទវិគី
តNo edit summary
បន្ទាត់ទី១០៥៖
និងអាចបន្លាយដល់​[[ចំនួនកុំផ្លិច]] x ។
 
ពន្លាតជាស៊េរីតាយល័រចំពោះអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺ
ឥឡូវយើងបញ្ចូល <math>\ i</math> ទៅក្នុងអិចស្ប៉ូសង់ យើងទទួលបាន
: <math> \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...\cdots = \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n}</math>▼
: <math> \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...\cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}</math>▼
 
: <math>
e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(ix)}^n}{n!}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n x^n}{n!}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} i^n
</math>
 
ដោយតំរៀបជាក្រុមឡើងវិញ​ យើងបាន
: <math>
e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(
\frac{x^{4n}} {(4n)!} i^{\,4n}
+ \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i^{\,4n+1}
+ \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} i^{\,4n+2}
+ \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i^{\,4n+3}
\right)
</math>
 
ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម
Line ១៥១ ⟶ ១៣៨:
</math>
 
ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z យើងកំនត់អនុគមន៍និមួយៗទាំងនេះដោយស៊េរីខាងលើ ជំនួសអថេរពិត x ដោយអថេរកុំផ្លិច z ។ យើងបាន
 
: <math>\begin{align}
តំរៀបតួនិមួយៗឡើងវិញ យើងបាន
e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
: <math>
&{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(
&{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
\frac{x^{4n}} {(4n)!}
&{}= -\cos z + i\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}sin z
\end{align}</math>
\right)
+
i\,\sum_{n=0}^\infty \left(
\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}
- \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}
\right)
</math>
 
ម្យ៉ាងវិញទៀតដោយពន្លាតជាស៊េរីតាយល័រចំពោះអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺ
▲: <math> \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...
= \sum_{n=0}^\infty \left(
\frac{x^{4n}} {(4n)!}
- \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}
\right)
</math>
 
▲: <math> \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...
= \sum_{n=0}^\infty \left(
\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}
- \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}
\right)
</math>
 
 
ដូចនេះគេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល៖
ដោយជំនួសពន្លាតជាស៊េរីនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺក្នុង <math>\ e^{ix}</math> គេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល។
: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>
 
បានពី "https://km.wikipedia.org/wiki/រូបមន្តអយល័រ"