រូបមន្តអយល័រ៖ ភាពខុសគ្នារវាងកំណែនានា

 

រូបមន្តអយល័រពោលថា​ចំពោះគ្រប់​[[ចំនួនពិត]]​ <math>\ x</math> គេបាន

 

ដែល

* <math>\ i</math> គឺជា​[[ឯកតានិម្មិត]] (ឬហៅថា​ចំនួននិម្មិត)

* <math>\ \sin</math> និង <math>\ \cos </math> គឺជា​​[[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]]

:<math> \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ </math>

 

 

លោក​[[អយល័រ]]​​ជាអ្នកបោះពុម្ព​រូបមន្ត​ជា​រាង​បច្ចប្បន្ន​នេះ​នៅ​ឆ្នាំ​១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះ​សំរាប់សំរាយបញ្ជាក់​របស់​គាត់​ចំពោះ​[[ស៊េរីអនន្ត]]​ពីរ​ស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរ​មិន​បាន​បង្ហាញ​តំណាង[[ធរណីមាត្រ]]​នៃ​រូបមន្តទេៈ តំណាង​នៃ​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​ជា​[[ចំនុច]]​នៅ​ក្នុង​[[ប្លង់កុំផ្លិច]]​បានលេចឡើង​នៅ​៥០ឆ្នាំ​ក្រោយ​មក។​ លោក [[អយល័រ]]​បាន​ចាត់ទុក​វា​ជាធម្មតា​ដើម្បី​ណែនាំ​ទៅ​កាន់​សិស្ស​របស់​គាត់​អំពី​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​​មាន​ភាពស្រួល​ច្រើនជាង​អ្វី​ដែល​ពួកយើង​ធ្វើ​សព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុង​សៀវភៅ'''ពិជគណិតថ្នាក់ដំបូង'''របស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់​បាន​ណែនាំ​អំពី​ចំនួន​ទាំងនេះ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ម្តង និង​បាន​ប្រើប្រាស់​​ពួកវា​តាម​រយៈ​វិធីសាស្រ្ត​ធម្មតា។

 

== ការអនុវត្តន៍ក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិច ==

 

សំរាយបញ្ជាក់​ដើម​គឺ​ពឹងផ្អែក​ទៅ​លើ​ការពន្លាត​ជា​​[[ស៊េរីតេល័រ]]​នៃ​[[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]] <math>\ e^z</math> (ដែល <math>\ z</math> ជា​[[ចំនួនកុំផ្លិច]]​) និង​ការពន្លាតជា​[[ស៊េរីតេល័រ]]​​នៃ​[[អនុគមន៍ស៊ីនុស]] <math>\ \sin x</math> និង [[កូស៊ីនុស]] <math>\ \cos</math> ចំពោះ​[[ចំនួនពិត]] <math>\ x</math> ។ តាម​ពិត​សំរាយបញ្ជាក់​ដូចគ្នា​បង្ហាញ​ថា​​រូបមន្តអយល័រ​ពិតផងដែរ​ចំពោះ​គ្រប់​[[ចំនួនកុំផ្លិច]] <math>\ z</math> ។

សមីការ​ទាំងពីរ​ខាងលើ​អាច​ទាញបាន​ដោយ​ការបូក​ឬ​ដករូបមន្ត​អយល័រ៖

 

: <math>e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;</math>

 

 

ឧទាហរណ៍៖ តាង <math>\ x = iy</math> គេបាន

 

== សំរាយបញ្ជាក់ ==

ការពន្លាត​ជា​[[ស៊េរី]]​នៃ[[អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល]]​ដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ

 

: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>

 

គេមានអនុគមន៍ <math>\ f</math> (អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ

: <math>f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}} \ </math>

: <math>\color{blue} e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>

 

គេមានអនុគមន៍ <math>\ g(x) </math> ដែល

: <math>\ g(x) = e^{ix}</math>

គឺជា​រូបមន្តអយល័រ​។

 

 

[[af:Euler se formule]]

[[eo:Eŭlera formulo]]

[[es:Fórmula de Euler]]

[[fa:فرمول اولر]]

[[fi:Eulerin lause (funktioteoria)]]