ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាង​រង្វាស់មេដ្យាន​នៃត្រីកោណ​និង​រង្វាស់ជ្រុងនិមួយៗរបស់វា។ ទ្រឹស្តីបទមេដ្យានជាករណីពិសេសរបស់ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស (Apollonius' theorem) ។

ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

គេមានត្រីកោណ ABC ដែល AI ជារង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A ។ គេបានទំនាក់ដូចខាងក្រោម:

$AB^{2}+AC^{2}=2BI^{2}+2AI^{2}\,$ ឬ

$AB^{2}+AC^{2}={1 \over 2}BC^{2}+2AI^{2}\,$

បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ

លក្ខណៈនេះជាករណីធម្មតាដោយការកាត់បន្ថយនៃអនុគមន៍ស្តាលែរលេបនីស្ស (scalar function of Leibniz)​:

$AB^{2}+AC^{2}=({\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IB}})^{2}+({\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IC}})^{2}$

គេពន្លាត:

$AB^{2}+AC^{2}=AI^{2}+IB^{2}+2{\overrightarrow {AI}}.{\overrightarrow {IB}}+AI^{2}+IC^{2}+2{\overrightarrow {AI}}.{\overrightarrow {IC}}$

ចំនុច I ជាចំនុចកណ្តាល [BC] ដូចនេះ ${\overrightarrow {IB}}$ និង ${\overrightarrow {IC}}$ មានទិសដៅផ្ទុយគ្នា និង$IC^{2}=IB^{2}$ ដូច្នេះ

$AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+2IB^{2}\,$

បំណកស្រាយម្យ៉ាងទៀត

តាង H ជាចំណោលនៃកំពស់ត្រីកោណពីកំពូល A មកលើជ្រុង BC ចែកត្រីកោណ ABC ជាពីរត្រីកោណកែង BHA និង AHC ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករ គេបាន

$AB^{2}=BH^{2}+AH^{2}\,$

$AC^{2}=AH^{2}+HC^{2}\,$

$AI^{2}=IH^{2}+AH^{2}\,$

ហេតុនេះ

$AB^{2}+AC^{2}=BH^{2}+2AH^{2}+HC^{2}\,$

ដោយសំដែង BH និង HC ជាអនុគមន៍នៃ BI និង IH (ដែល I ជាចំនុចគណ្តាលនៃ BC និង BI=IC) ។ កត់សំគាល់ផងដែរចំពោះ​ករណីពិសេស ជើង H នៃកំពស់គូសចេញពីកំពូល A មកលើអង្កត់ [BI] នៅចន្លោះ B និង I ប៉ុន្តែវាផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណី

$BH=BI-IH\,$

$HC=IC+IH=BI+IH\,$

ជំនួសចូលក្នុងកន្សោមខាងលើ គេបាន

$AB^{2}+AC^{2}=(BI-IH)^{2}+2AH^{2}+(BI+IH)^{2}\,$

$AB^{2}+AC^{2}=BI^{2}-2BI.IH+IH^{2}+2AH^{2}+BI^{2}+2BI.IH+IH^{2}\,$

$AB^{2}+AC^{2}=2BI^{2}+2IH^{2}+2AH^{2}=2BI^{2}+2(IH^{2}+AH^{2})\,$

ឬគេអាចថា

$IH^{2}+AH^{2}=AI^{2}\,$

ដោយជំនួសវាចូលក្នុងសមីការខាងលើគេបាន

$AB^{2}+AC^{2}=2BI^{2}+2AI^{2}\,$

ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន

ជាមួយនឹងផលគុណស្កាលែរ: $AB^{2}-AC^{2}=2{\overrightarrow {BC}}.{\overrightarrow {IH}}$ ដែល H គឺជាចំណោលកែងនៃ A លើ (BC) ។

ដែលទំនាក់ទំនង$\left|AB^{2}-AC^{2}\right|=2BC\times IH$ (ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន)។

តាមពិត: $AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}).({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})=2{\overrightarrow {AI}}.({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CA}})=2{\overrightarrow {AI}}.{\overrightarrow {CB}}$

ចំណោលនៃ ${\overrightarrow {AI}}$ លើ ${\overrightarrow {BC}}$ គឺ ${\overrightarrow {HI}}$ ដែល ${\overrightarrow {AI}}{\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {HI}}.{\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {BC}}.{\overrightarrow {IH}}$ ។

ផលគុណស្កាលែរនៃពីរវ៉ិចទ័រស្របគ្នាគឺស្មើនឹង $BC\times IH$ ដែលមានទិសដៅផ្ទុយគ្នា។

ទំរង់វ៉ិចទ័រនៃទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

បើ I ជាចំនុចកណ្តាល [BC] គេបាន : ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}=2{\overrightarrow {AI}}$

លក្ខណៈទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

គេមានត្រីកោណ MBC ។ គេគូសបន្ទាត់មួយចេញពី M កាត់ជ្រុង [BC] ត្រង់ I ។ តាង $k={\frac {IC}{IB}}$ គេបាន

$MI^{2}={\frac {kMB^{2}+MC^{2}}{1+k}}-(IB.IC)$

សូមមើលផងដែរ

• មេដ្យាន
• ច្បាប់ប្រលេឡូក្រាម (Parallelogram law)
• ទ្រឹស្តីបទស្តេអាត (Stewart's theorem)
• ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស (Apollonius' theorem)
• ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem)
• ទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស (Menelaus' theorem)