នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (ឬច្បាប់ស៊ីនុស ឬរូបមន្តស៊ីនុស) ជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាអំពីត្រីកោណ នៅក្នុងប្លង់ ។
ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b, c, ក្រលាផ្ទៃ S រង្វង់ចារឹកក្រៅកាំ R និងមុំ A, B, Cគេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b និង c និង A, B និង C ជាមុំឈមនៃជ្រុងទាំងនេះ(∠A=A , ∠B=B , ∠C=C ) និងR {\displaystyle R\,} ជាកាំនៃរង្វង់ ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសបង្ហាញដូចខាងក្រោម
a sin A = b sin B = c sin C = 2 R {\displaystyle \color {blue}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R} ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីគណនាជ្រុងនៃត្រីកោណ ដែលនៅសល់ ប្រសិនបើគេស្គាល់តំលៃនៃមុំ ២ និងជ្រុងមួយ។ វាក៏អាចត្រូវបានគេប្រើបានដែល នៅគេស្គាល់ជ្រុងពីរ និងមុំមួយ។
2 R = a b c 2 S = a b c 2 p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = 2 a b c ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}2R={\frac {abc}{2S}}&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}\\&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}\end{aligned}}} ដែល S {\displaystyle S\,} ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ និង p {\displaystyle p\,} ជាកន្លះបរិមាត្រ ។
p = a + b + c 2 {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}} សំរាយបញ្ជាក់
កែប្រែ
△ABC កំពស់ h គូសចេញពីកំពូល C សំរាយបញ្ជាក់ a sin A = b sin B = c sin C {\displaystyle \color {blue}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}} គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងមុំ A B C បង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ។ h ជាកំពស់ គូសចេញពីកំពូល C មកជ្រុង AB ។ តាមនិយមន័យវាចែកត្រីកោណ ABC ជាពីរត្រីកោណកែង ។ គេបាន
sin A = h b {\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}} និង sin B = h a {\displaystyle \sin B={\frac {h}{a}}}
⇒ h = b ( sin A ) = a ( sin B ) {\displaystyle \Rightarrow h=b\,(\sin A)=a\,(\sin B)}
⇒ a sin A = b sin B ( 1 ) {\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}\,\,\,(1)} ដូចគ្នាដែរចំពោះកំពស់គូសចេញពីកំពូល A មកជ្រុង BC នៃត្រីកោណ គេបាន
b sin B = c sin C ( 2 ) {\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}\,\,\,(2)} ( 1 ) {\displaystyle (1)\,} និង ( 2 ) {\displaystyle (2)\,} យើងបាន
a sin A = b sin B = c sin C {\displaystyle \color {blue}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}} សំរាយបញ្ជាក់ a sin A = b sin B = c sin C = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=\color {magenta}2R} គេមានត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់ កាំ R និង B C = a , ∠ A = A {\displaystyle BC=a,\quad \angle A=A}
(ក) - ករណី 0 < ∠ A < π 2 {\displaystyle 0<\angle A<{\frac {\pi }{2}}} (មុំ A ជាមុំស្រួច) ករណីមុំ A ជាមុំស្រួច BD ជាអង្កត់ផ្ចិត នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ ត្រីកោណ នោះចំនុច D គឺស្ថិតនៅលើរង្វង់ ។
នាំអោយ B D = 2 R {\displaystyle BD=2R\,} (R ជាកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ)
ដោយយោងតាមទ្រឹស្តីបទមុំចារឹកក្នុង រង្វង់ គេបាន
∠ A = ∠ D {\displaystyle \angle A=\angle D\,} (មុំ A ស្មើមុំ D)BD ជាអង្កត់ផ្ចិត នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ នោះគេបាន
B D = 2 R , {\displaystyle {\rm {BD}}=2R,\ } និង ∠ B C D = π 2 {\displaystyle \angle {\rm {BCD}}={\pi \over 2}\ } តាង ∠ B D C = ∠ D = D {\displaystyle \angle {\rm {BDC}}=\angle D=D} គេបាន
sin D = B C B D = a 2 R ⇒ a sin D = 2 R {\displaystyle \sin D={\frac {BC}{BD}}={a \over 2R}\qquad \Rightarrow {\frac {a}{\sin D}}=2R} ដោយមុំ D = A គេបាន a sin A = 2 R {\displaystyle {a \over \sin A}=2R}
តាមរយៈវិធីដូចគ្នាចំពោះផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន
b sin B = 2 R {\displaystyle {b \over \sin B}=2R}
c sin C = 2 R {\displaystyle {c \over \sin C}=2R} ហេតុនេះ a sin A = b sin B = c sin C = 2 R {\displaystyle \color {magenta}{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R}
សនិដ្ឋាន: ដូចនេះគេបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស a sin A = b sin B = c sin C = 2 R {\displaystyle \color {magenta}{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R} ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណីទាំងបីខាងលើ។
គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b, c ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ។ ស្រាយបំភ្លឺថាៈ
a cos A + b cos B + c cos C = 2 S R {\displaystyle a\cos A+b\cos B+c\cos C={\frac {2S}{R}}} ដែល S {\displaystyle S\,} ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។
ដំណោះស្រាយ
តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសនៃត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់ កាំ R
a sin A = b sin B = c sin C = 2 R ⇒ { a = 2 R s i n A b = 2 R s i n B c = 2 R s i n C {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R\Rightarrow {\begin{cases}a=2RsinA\\b=2RsinB\\c=2RsinC\\\end{cases}}} យើងបាន:
a c o s A + b c o s B + c c o s C = 2 R s i n A c o s A + 2 R s i n B c o s B + 2 R s i n C c o s C = R ( 2 s i n A c o s A + 2 s i n B c o s B + 2 s i n C c o s C ) = R ( 2 s i n A c o s A + s i n 2 B + s i n 2 C ) = R [ 2 s i n A c o s A + 2 s i n ( B + C ) c o s ( B − C ) ] = R [ 2 s i n A c o s A + 2 s i n A c o s ( B − C ) ] ( B + C = π − A ⇒ s i n ( B + C ) = s i n ( π − A ) = s i n A ) = 2 R s i n A [ c o s ( B − C ) − c o s ( B + C ) ] ( A = π − ( B + C ) ⇒ c o s A = c o s [ π − ( B + C ) ] = − c o s ( B + C ) = 2 R s i n A ⋅ 2 s i n B s i n C = 4 R s i n A ⋅ s i n B s i n C = 4 R ⋅ a 2 R ⋅ b 2 R ⋅ c 2 R = a b c 2 R 2 ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}acosA+bcosB+ccosC&=2RsinAcosA+2RsinBcosB+2RsinCcosC\\&=R(2sinAcosA+2sinBcosB+2sinCcosC)\\&=R(2sinAcosA+sin2B+sin2C)\\&=R[2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B-C)]\\&=R[2sinAcosA+2sinAcos(B-C)]\\&(B+C=\pi -A\Rightarrow sin(B+C)=sin(\pi -A)=sinA)\\&=2RsinA[cos(B-C)-cos(B+C)]\\&(A=\pi -(B+C)\Rightarrow cosA=cos[\pi -(B+C)]=-cos(B+C)\\&=2RsinA\cdot 2sinBsinC\\&=4RsinA\cdot sinBsinC\\&=4R\cdot {\frac {a}{2R}}\cdot {\frac {b}{2R}}\cdot {\frac {c}{2R}}\\&={\frac {abc}{2R^{2}}}\,\,\,\,(1)\\\end{aligned}}}
S {\displaystyle \ S} ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ⇒ S = a b c 4 R ⇒ a b c = 4 R S {\displaystyle \Rightarrow S={\frac {abc}{4R}}\Rightarrow abc=4RS}
ជំនួស abc ក្នុង ( 1 ) {\displaystyle (1)\,} យើងបាន
a c o s A + b c o s B + c c o s C = 4 R S 2 R 2 = 2 S R {\displaystyle acosA+bcosB+ccosC={\frac {4RS}{2R^{2}}}={\frac {2S}{R}}}
ដូចនេះ
a c o s A + b c o s B + c c o s C = 2 S R {\displaystyle acosA+bcosB+ccosC={\frac {2S}{R}}} ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរ
កែប្រែ