មេដ្យាន

ក្នុងធរណីមាត្រ មេដ្យានទ័រនៃអង្តក់គឺជាអង្កត់ដែលភ្ជាប់ពី​​កំពូលនៃត្រីកោណទៅកាន់ចំនុចកណ្តាល​នៃជ្រុងឈមនឹងកំពូលនោះ។ ក្នុងត្រីកោណនីមួយៗតែងតែមានមេដ្យានបី ដែលមេដ្យាន​នីមួយៗគូសចេញពីកំពូលកាន់ជ្រុងឈមហើយកាត់ជ្រុងឈមនោះ​ត្រង់ចំនុចកណ្តាល។

មេដ្យាននៃត្រីកោណនិងទីប្រជុំទំងន់

ចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យានទាំងបី

មេដ្យានទាំងបីនៃត្រីកោណជួបគ្នាត្រង់ចំនុចមួយហៅថា​ទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ។ កត់សំគាល់ថា​ទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ​គឺស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុង​ត្រីកោណជានិច្ច។ ពីរភាគបីនៃរង្វាស់មេដ្យាន​នីមួយៗគឺជារង្វាស់រវាងកំពូលនិងទីប្រជុំទំងន់ ដែលមួយភាគបីគឺជារង្វាស់ពីទីប្រជុំទំងន់ទៅចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងឈម។មេដ្យាទ័រនែជ្រុងMNនិងMPនៃត្រីកោណMNPប្រសព្វត្រង់Oបង្ហាញថាOM=ON=OP

ការចែកក្រលាផ្ទៃស្មើគ្នា

មេដ្យានទាំងបីចែកត្រីកោណជា៦​ត្រីកោណដែលមានក្រលាផ្ទៃស្មើៗគ្នា។ បន្ទាត់ដែលចែកក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាពីរស្មើគ្នា គឺមិនកាត់តាមទីប្រជុំទំងន់ទេ។

សំរាយបញ្ជាក់

គេមានត្រីកោណ ABC ។ តាង D ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AB តាង E ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង BC តាង F ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AC និងតាង O ជាទីប្រជុំទំងន់។

ត្រីកោណ ABC មានទីប្រជុំទំងន់ O

តាមនិមយន័យ $AD=DB,AF=FC,BE=EC\,$

ហេតុនេះ $S_{ADO}=S_{BDO},S_{AFO}=S_{CFO},S_{BEO}=S_{CEO}\,$

ដែល $S_{ABC}\,$ តំណាងអោយក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

យើងបាន

$S_{ABO}=S_{ABE}-S_{BEO}\,$

$S_{ACO}=S_{ACE}-S_{CEO}\,$

ហេតុនេះ

$S_{ABO}=S_{ACO}\,$ និង $S_{ADO}=S_{DBO},S_{ADO}={\frac {1}{2}}S_{ABO}$

ដោយ $S_{AFO}=S_{FCO},S_{AFO}={\frac {1}{2}}S_{ACO}={\frac {1}{2}}S_{ABO}=S_{ADO}$

គេបាន $S_{AFO}=S_{FCO}=S_{ADO}=S_{DBO}\,$

ដោយប្រើវិធីដូចគ្នា យើងអាចបង្ហាញថា $S_{AFO}=S_{FCO}=S_{ADO}=S_{DBO}=S_{BEO}=S_{CEO}\,$

រូបមន្តគណនារង្វាស់មេដ្យាន

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស្តេអាត (Stewart's theorem) ចំពោះត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a b និង c (ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ) ; $m_{a}\,$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A ទៅកាន់ជ្រុង BC ; $m_{b}\,$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល B ទៅកាន់ជ្រុង AC និង $m_{c}\,$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល C ទៅកាន់ជ្រុង AB ($m_{a}=AD;\quad m_{b}=BE;\quad m_{c}=CF;\quad a=BC;\quad b=AC;\quad c=AB\,$ ) យើងបានទំនាក់ទំនងរវាង $m_{a}\,$ និង រង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណសំដែងដោយ

$4m_{a}^{2}+a^{2}=2(b^{2}+c^{2})\,$

$\Rightarrow m_{a}=AD={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}$

ដូចគ្នាដែរចំពោះមេដ្យានគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណ

$\Rightarrow m_{b}=BE={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}$

$\Rightarrow m_{c}=CF={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}$

គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាអនុគមន៍នៃរង្វាស់មេដ្យាន

មេដ្យាន $AA_{1}\,$ នៃត្រីកោណ ABC គឺគូសចេញពីកំពូល $A\,$ ទៅកាន់ចំនុចកណ្តាល $A_{1}\,$ នៃជ្រុងឈមនៃកំពូល A ។ មេដ្យាន​ទាំងបី​ជួបគ្នា​ត្រង់ចំនុចមួយ G ហៅថាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC ។ G ក៏អាចហៅថាបារីសង់នៃត្រីកោណ ABC ផងដែរ។ ចំនុច G ជាទ្រីលីនែអ៊ែ (ចំនុចធៀបនៃចំងាយរវាងជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណនិងចំនុចនោះ)​ ដែល ${\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}\,$  (a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណ ABC) ។ លើសពីនេះទៅទៀត មេដ្យាននៃត្រីកោណមួយចែកជាមេដ្យានមួយទៀត (មេដ្យាននៃត្រីកោណមេដ្យាន) ដោយផលធៀប ២:១

$AG:GA_{1}=BG:GB_{1}=CG:GC_{1}=2:1\,$

តាង $m_{a},\quad m_{b},\quad m_{c}\,$ ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃមេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A B និង C ។ គេបាន

${\begin{cases}&m_{a}^{2}={\frac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})\\&m_{b}^{2}={\frac {1}{4}}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})\\&m_{c}^{2}={\frac {1}{4}}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})\end{cases}}$

$\Rightarrow m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

តាង $p_{m}={\frac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c})$

គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

$\color {RoyalBlue}S_{ABC}={\frac {3}{4}}{\sqrt {p_{m}(p_{m}-m_{a})(p_{m}-m_{b})(p_{m}-m_{c})}}$

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន
• កំពស់ត្រីកោណ
• ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem)