មុំប្រ៊ូការ

តាង $\ \Omega$ ជាចំនុចប្រ៊ូការទី១នៃត្រីកោណ ABC ដែលមុំ ${\widehat {\Omega AB}};\quad {\widehat {\Omega BC}};\quad {\widehat {\Omega CA}}$ ស្មើនឹង $\ \omega$ និង $\ \Omega '$ ជាចំនុចប្រ៊ូការទី២ ដែលមុំ ${\widehat {\Omega 'BA}};\quad {\widehat {\Omega 'CB}};\quad {\widehat {\Omega 'AC}}$ ស្មើនឹង $\ \omega '$ ។ នោះមុំ $\ \omega =\omega '$ ហើយមុំនេះហៅថាមុំប្រ៊ូការ (Brocard Angle) ។

ចំនុចនឹងមុំប្រ៊ូការ

មុំប្រ៊ូការនៃត្រីកោណ ABC អោយដោយរូបមន្ត

${\begin{aligned}\color {blue}\cot \omega &=\cot A+\cot B+\cot C\\&={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}}\\&={\frac {1+\cos A\cos B\cos C}{\sin A\sin B\sin C}}\\&={\frac {\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C}{2\sin A\sin B\sin C}}\\&={\frac {a\sin A+b\sin B+c\sin C}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}}\\\end{aligned}}$

• $\ \csc ^{2}\omega =\csc ^{2}A+\csc ^{2}B+\csc ^{2}C$

• $\sin \omega ={\frac {2S}{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}}$

• $\sin ^{2}\omega ={\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)}{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})}}$

• $\ \sin ^{3}\omega =\sin(A-\omega )\sin(B-\omega )\sin(C-\omega )$

• $\ \tan \omega ={\frac {\sin A\sin B\sin C}{1+\cos A\cos B\cos C}}$

ដែល $\ S$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។ A; B; C ជាមុំ និង a; b; c ជារង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នានៃត្រីកោណ ABC ។