វិសមភាពនេស្ប៉ីត

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា វិសមភាពនេស្ប៉ីត (Nesbitt's inequality) គឺជាករណីពិសេសនៃវិសមភាពសាពីរ៉ូ (Shapiro inequality)។ វិសមភាពនេះចែងថាចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត a, b និង c យើងបាន

$\color {blue}{\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}$

សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់ទី១

ចាប់ផ្តើមចេញពីវិសមភាពនេស្ប៉ីត (1903)

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}$

យើងបំលែងអង្គខាងធ្វេង

${\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}-3\geq {\frac {3}{2}}$ ។

ឥឡូវវាអាចបំលែងជា

$((a+b)+(a+c)+(b+c))\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9$ ។

ដោយវានឹង៣ ហើយកត្តាអង្គខាងស្តាំក្លាយជា៖

${\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}$ ។

ឥឡូវនៅអង្គខាងធ្វេងយើងមានមធ្យមនព្វន្ឋ និងនៅអង្គខាងស្តាំយើងមានមធ្យមអាម៉ូនិក។ ដូច្នេះវិសមភាពនេះគឺពិតជាត្រឹមត្រូវ។

យើងក៏អាចចង់សាកល្បងប្រើប្រាស់ GM ចំពោះអញ្ញតិបីបានផងដែរ។

សំរាយបញ្ជាក់ទី២

ឧបមា $a\geq b\geq c$ យើងបាន

${\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}$

អាចកំនត់បាន

${\vec {x}}=(a,b,c)$

${\vec {y}}=({\frac {1}{b+c}},{\frac {1}{a+c}},{\frac {1}{a+b}})$

ផលគុណស្កាលែរនៃតៗគ្នានៃពីរវ៉ិចទ៍រគឺមានតំលៃអតិប្បរមា ដោយសារតែវិសមភាពតំរៀបឡើងវិញ (Rearrangement inequality)។ ប្រសិនបើពួកវាត្រូវបានគេំរៀបតាមវិធីដូចគ្នា ហៅថា ${\vec {y}}_{1}$ និង ${\vec {y}}_{2}$ វ៉ិចទ័រ ${\vec {y}}$ នោះគេបាន

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\geq {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}_{1}$

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\geq {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}_{2}$

ដូវច្នេះគេបានវិសមភាពនេស្ប៉ីត។

សំរាយបញ្ជាក់ទី៣

សញ្ញាណខាងក្រោមគឺពិតចំពោះគ្រប់ $a,b,c\,$

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}={\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}}+{\frac {(a-c)^{2}}{(a+b)(b+c)}}+{\frac {(b-c)^{2}}{(a+b)(a+c)}}\right)$

សញ្ញាណនេះបញ្ជាក់ឃើញថាអង្គខាងធ្វេងគឺមិនតូចជាង ${\frac {3}{2}}$ ទេចំពោះចំនួនវិជ្ជមាន a, b, និង c ។

សំរាយបញ្ជាក់ទី4

យើងអាចឧបមាថា $a\leq b\leq c$ នោះគេបាន $b+c\geq c+a\geq a+b$ ដូចនេះគេបាន:

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3(a+b+c)}{b+c+c+a+a+b}}={\frac {3}{2}}$

សំរាយបញ្ជាក់ទី5

យើងមានៈ ${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}+{\frac {3}{2}}={\frac {1}{2}}{\biggl (}{\frac {a+b}{b+c}}+{\frac {b+c}{c+a}}+{\frac {c+a}{a+b}}+{\frac {a+b}{c+a}}+{\frac {c+a}{b+c}}+{\frac {b+c}{a+b}}{\biggl )}\geq {\frac {6}{2}}=3$

យើងទាញបានៈ ${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{c+a}}+{\frac {c}{a+b}}\geq 3-{\frac {3}{2}}={\frac {3}{2}}$