វិសមភាព AM-GM

នៅក្នុង គណិតវិទ្យា, វិសមភាពមធ្យមនព្វន្ត និង មធ្យមធរណីមាត្រ ឬត្រូវបានហៅកាត់ថា វិសមភាព AM-GM, បាននិយាយថា មធ្យមនព្វន្តនៃចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានមួយក្រុម គឺតែងតែធំជាងឬស្មើទៅនឹង មធ្យមធរណីមាត្រ នៃចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានមួយក្រុមនោះជានិច្ច។ ជាងនេះទៅទៀតនោះ, មធ្យមទាំងពីរនេះអាចស្មើគ្នាទៅបានលុះត្រាតែ គ្រប់ធាតុនីមួយៗ (ចំនួន ពិតមិនអវិជ្ចមាននីមួយៗ)នៅក្នុងក្រុមចំនួននោះ មានតម្លៃស្មើគ្នាទាំងអស់។

ក្នុងឧទាហរណ៍សាមញ្ញតែមានសារៈសំខាន់នោះគឺ —ដូចជាក្នុងករណីមានច្រើនជាង ១អញ្ញតិ — ចំពោះចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានពីរគឺ $x$ និង $y$ , ដែលវិសមភាពខាងក្រោមនេះពិតជានិច្ច៖

{\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}

ដែលស្មើគ្នាលុះត្រាតែ $x = y$ ប៉ុណ្នោះ. ក្នុងករណីនេះយើងអាចឃើញយ៉ាងច្បាស់ពីការពិតដែលការ៉េនៃចំនួនពិតមួយតែងតែវិជ្ជមានជានិច្ច គួបផ្សំនឹងលក្ខណៈ ដ៏ពិតមួយទៀងនោះគឺ $(a \pm b) 2 = a 2 \pm 2 ab + b 2$ ដែលជាលក្ខណៈនៃ រូបមន្តពហុធា:

(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy=(x+y)^{2}-4xy

ឬក៏អាចសរសេរជា $(x + y) 2 \geq 4 xy$ , ដែលស្មើគ្នានៅពេល $(x - y) 2 = 0$ ឬពេល $x = y$ . ចំពោះការពន្យល់តាមបែបធរណីមាត្រវិញ, ឧបមាថាយើងមាន ត្រីកោណមួយ ដែលមានជ្រុងប្រវែង $x$ និង $y$ , នោះ បរិមាត្រ របស់វាគឺ $2 x + 2 y$ និង ក្រលាផ្ទៃ $xy$ . ដូចគ្នានេះដែរ, ការ៉េ មួយដែលគ្រប់ជ្រុងរបស់វាសុទ្ឋតែមានប្រវែង $ទំព័រគំរូ:Radical$ មានបរិមាត្រស្មើនឹង $4 ទំព័រគំរូ:Radical$ និងមានក្រលាផ្ទៃដូចគ្នាទៅនឹងក្រលាផ្ទៃរបស់ត្រីកោណដែរ។ ករណីសាមញ្ញនៃវិសមភាព AM–GM ត្រូវបានអនុវត្តន៍លើបរិមាត្រគឺ $2 x + 2 y \geq 4 ទំព័រគំរូ:Radical$ និងបានបង្ហាញថាមានតែការ៉េនោះទេដែលមានបរិមាត្រតូចជាងគេក្នុងចំនោមត្រីកោណទាំងអស់ដែលមានក្រលាផ្ទៃប៉ុនគ្នានោះ។

ភាពទូទៅនៃវិសមភាព AM–GM ផ្ដោតសំខាន់ទៅលើភាពពិតនៃ លោការីត ធម្មជាតិ, ដែលអាចបម្លែងផលគុណទៅជាផលបូកបាននោះ, គឺជា is a អនុគមន៍ផតដាច់ខាត concave functionមួយ ហើយយើងអាចប្រើ វិសមភាព Jensen ដើម្បី ស្រាយបញ្ជាក់ជាទូទៅ នៃវិសមភាព AM-GM នេះផងដែរ។

Extensions of the AM–GM inequality are available to include weights or generalized means.

ប្រវត្តិ ឬ ព្រឹត្តិការណ៍ទាក់ទង

មធ្យមពិជគណិត ឬនិយាយសាមញ្ញថា មធ្យម នៃ $n$ ចំនួន $x 1, x 2, . . . , x n$ គឺជាផលបូកនៃចំនួនទាំងអស់នោះ ចែកនឹង $n$ ។

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.

មធ្យមធរណីមាត្រ មានភាពស្រដៀងគ្នា, ប៉ុន្តែវាមានន័យលុះត្រាតែចំនួនទាំងអស់គឺជា ចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រើប្រាស់នូវ ការគុណ និង ឬស ចំនួសឲ្យ ការបូក និង ការចែក។

{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}.

ករណី $x 1, x 2, . . . , x n > 0$ ,វាស្មើទៅនឹង អ៊ិចស្ប៉ូណង់ស្យែល នៃមធ្យមពិជគណិតរបស់ លោការីត ធម្មជាតិ នៃចំនួនទាំងនោះ:

\exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right).

វិសមភាព AM-GM

បញ្ជាក់សារជាថ្មីដោយប្រើប្រាស់សញ្ញាក្នុងគណិតវិទ្យា, ចំពោះ $n$ ចំនួននៃចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមាន $x 1, x 2, . . . , x n$ , យើងបានៈ

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\,,

ហើយវិសមភាពនេះក្លាយជា សមភាព លុះត្រាតែៈ $x 1 = x 2 = \cdot \cdot \cdot = x n$ .

ការពន្យល់តាមបែបធរណីមាត្រ

នៅក្នុង 2 វិមាត្រ , $2 x 1 + 2 x 2$ ជាបរិមាត្រ នៃចតុកោណកែងមួយដែលមានជ្រុងប្រវែង $x 1$ និង $x 2$ ។ ដួចគ្នានេះដែរ $4 ទំព័រគំរូ:Radical$ គឺជាបរិមាត្រនៃការ៉េមួយដែលមាន ក្រលាផ្ទៃ ដូចគ្នា. ដូចនេះ ចំពោះ $n = 2$ វិសមភាព AM–GM បានបញ្ជាក់ថា មានតែ ការ៉ប៉ុណ្ណោះដែលមានបរិមាត្រតូចជាងគេទាំងអស់ ក្នុងចំនោមចតុកោណកែងដែលមានក្រលាផ្ទៃប៉ុនគ្នា។

ភាពពេញលេញនៃវិសមភាពនេះ គឺជាការពង្រីកទៅលើគំនិតនេះ ទៅដល់ $n$ វិមាត្រ។ គ្រប់កំពូលទាំងអស់នៃប្រអប់ដែលមាន $n$ វិមាត្រគឺត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹង $n$ គែម។ ប្រសិនបើប្រវែងនៃគែមទាំងនោះគឺ $x 1, x 2, . . . , x n$ នោះ $x 1 + x 2 + \cdot \cdot \cdot + x n$ គឺជាប្រវែងសរុបនៃគែមទាំងអស់នោះត្រូវគ្នាទៅនឹងកំពូលនៃប្រអប់នោះ។ យើងមាន $2 n$ កំពូល ដូចនេះយើងត្រូវគុណនឹង $2 n$ ; ព្រោះថាគែមនីមួយៗត្រូវប៉ះទៅនឹងកំពូលពីរ ជានិច្ច ដែលធ្វើឲ្យគ្រប់គែមទាំងអស់ត្រូវបានរាប់ចំនួនពីរដង។ ដូច្នេះយើងចែកនឹង $2$ ហើយសន្មត់ថាយើងមាន $2 n -1 n$ ជ្រុង។ ដោយសារតែចាមានគែមជាច្រើនដែលមានប្រវែងស្មើៗគ្នា និង $n$ ជ្រុង; ដូចនេះយើងមាន $2 n -1$ គែមនៃប្រវែងនីមួយៗនិងប្រវែងសរុបនៃប្រវែងរបស់គែមទាំងអស់នោះគឺ $2 n -1 (x 1 + x 2 + \cdot \cdot \cdot + x n)$ ។ ម្យ៉ាងទៀតៈ

2^{n-1}n{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}

គឺជាប្រវែងសរុបនៃគែមដែឡភ្ជាប់ទៅនឹងកំពូលមួយនៅលើគូបនៅក្នុង $n$ -វិមាត្រដែលមានមាឌប៉ុនគ្នា។ យោងទៅតាមវិសមភាពដែលបានចែងថាៈ

{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \over n}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}},

យើងទទួលបាន

2^{n-1}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})\geq 2^{n-1}n{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\,

ដែលសមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែៈ $x 1 = x 2 = \cdot \cdot \cdot = x n$ .

ដូច្នេះ វិសមភាព AM–GM បញ្ជាក់ថាមានតែ $n$ -គូប ប៉ុណ្ណោះដែលមានផលបូកនៃប្រវែងសរុបរបស់គែមដែលភ្ជាប់ទៅនឹងកំពូលនីមួយៗ ទាំងអស់មានតម្លៃតូចជាងគេ ក្នុងចំនោមប្រអប់ដែលមានមាឌ ប៉ុនគ្នាទាំងអស់នៅក្នុង $n$ -វិមាត្រ។^[១]

ឩទាហរណ៍អំពីការប្រើប្រាស់

ឩបមាថាយើងមានអនុគមន៍ដូចខាងក្រោមៈ

f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}

ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតវិជ្ជមាន $x$ , $y$ និង $z$ . ហើយយើងចង់រកនូវតម្លៃតូចបំផុតនៃ អនុគមន៍មួយនេះ។ ដូចនេះ ជាដំបូងយើងត្រូចសរសេរវាសារជាថ្មីឲ្យទៅជារាងដូចខាងក្រោមៈ

{\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}

ដែល

x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.

ដោយប្រើប្រាស់នូវ វិសមភាព AM–GM ចំពោះ $n = 6$ , យើងបានៈ

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}\\&=6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{aligned}}

ជាងនេះទៅទៀត, យើងដឹងថាអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនេះស្មើគ្នាទៅបានលុះត្រាតែ គ្រប់តួទាំងអស់មានតម្លៃស្មើគ្នា គឺៈ

f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}

នៅពេល

{\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}

។

គ្រប់ចំនុច $(x, y, z)$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់នូវលក្ខ័ណ្ឌនេះសុទ្ធតែ ស្ថិតនៅលើកន្លះបន្ទាត់កាត់តាមគល់តម្រុយ និងមានសមីការៈ

(x,y,z)={\biggr (}x,{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {3}}\,x,{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\,x{\biggr )}

ដែល x > 0 ។

ការអនុវត្តន៍ប្រើប្រាស់

ការប្រើប្រាស់ដ៏សំខាន់មួយនៃវិសមភាពនេះ គឺនៅក្នុង គណិតវិទ្យាខាងផ្នែកហិរញ្ញវត្ថុ គឺត្រូវបានយកទៅប្រើប្រាស់ដើម្បីគណនា អត្រានៃប្រាក់ចំនេញ: ប្រាក់ចំនេញប្រចាំឆ្នាំ, ដោយបានគណនាតាមមធ្យមធរណីមាត្រ គឺមានតម្លៃទាបជាងប្រាក់ចំនេញប្រចាំឆ្នាំគិតជាមធ្យមដែលគណនាតាម មធ្យមពិជគណិត (ឬក៏អាចស្មើបើប្រាក់ចំនេញទាំងនោះមានតម្លៃស្មើគ្នា)។ វាសំខាន់ណាស់នៅក្នុងការវិភាគទៅលើ ការធ្វើវិនិយោគទុនដូចនេះ ព្រោះថាប្រាក់ចំនេញជាមធ្យម "as the average return overstates the cumulative effect."

សម្រាយបញ្ជាក់នៃវិសមភាព AM–GM

យើងមានរបៀបក្នុងការស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាព AM–GM នេះ; ឧទាហរណ៍ដូចជា, វាអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើប្រាស់ វិសមភាព Jensen, ដោយប្រើប្រាស់នូវអនុគមន៍ផត ln( $x$ )។ យើងក៏អាចស្រាយបញ្ជាក់វាតាម វិសមភាពតំរៀប។ ផ្តោតទៅលើប្រវែងនិងតម្រូវការ, ការស្រាយបញ្ជាក់តាមកំនើនវាចារ ខាងក្រោមប្រហែលជា ជាការស្រាយបញ្ជាក់ដ៍ល្អមយួៈ

គំនិតនៃការស្រាយបញ្ជាក់ដំបូងទាំងពីរ

យើងត្រូវតែស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}

ដែលសមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែគ្រប់ចំនួនទាំងអស់ស្មើគ្នា។ បើ $x i \neq x j$ , យើងជំនួស $x i$ និង $x j$ ដោយ $(x i + x j)/2$ នឹងធ្វើឲ្យមធ្យមនព្វន្តដែលនៅខាងឆ្វេងដៃ មិនមានការប្រែប្រួល តែវានឹងធ្វើឲ្យមធ្យមធរណីមាត្រដែលនៅខាងស្ដាំដៃមានការកើនឡើង ព្រោះ ៖

{\Bigl (}{\frac {x_{i}+x_{j}}{2}}{\Bigr )}^{2}-x_{i}x_{j}={\Bigl (}{\frac {x_{i}-x_{j}}{2}}{\Bigr )}^{2}>0.

ដូចនេះអង្គខាងស្ដាំនឹង ធំជាងគេ — ដូចនេះគំនិតគឺថា — នៅពេលដែលគ្រប់ $x i$ ទាំងអស់មានតម្លៃស្មើទៅនឹងមធ្យមនព្វន្ត ៖

\alpha ={\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}},

ដូចនេះ ខាងក្រោមនេះគឺជាតម្លៃធំជាងគេនៃអង្គខាងស្ដាំ គឺ៖

{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}=\alpha ={\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \ldots \alpha }}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}}.

ការស្រាយបញ្ជាក់នេះគឺពិតចំពោះករណី $n = 2$ តែដំណើរការក្នុងការយកមធ្យមនៃគូរចំនួនដែលស្រដៀងគ្នា អាចឈានទៅរកភាពបរាជ័យក្នុងការបង្កើតនូវ $n$ ចំនួនដែលស្មើគ្នា ក្នុងករណី $n \geq 3$ ។ ជាឧទាហរណ៍មួយក្នុងករណីនេះ គឺ $x 1 = x 2 \neq x 3$ : ដោយរកមធ្យមនៃចំនួនពីរដែលខុសគ្នាអាចនឹងបង្កើតបាន ចំនួនពីរដែលមានតម្លៃស្មើគ្នា ប៉ុន្តែ ចំនួនទី បី គឺនៅតែខុសគ្នាដដែល។ ដូចនេះ តាមពិតទៅ យើងមិនដែលទទួលបាននៅ វិសមភាពដែលមាន មធ្យមធរណីមាត្រដែលកើតពី ចំនួន៣ ដែលស្មើគ្នា នោះទេ។

ដូច្នេះ ល្បិចមួយទៀតដែលត្រូវប្រើនោះ គឺ ត្រូវតែបង្វែរ គំនិតខាងលើនេះឲ្យទៅជា ការស្រាយបញ្ជាក់ដ៏មានប្រសិទ្ធិ៍ភាពមួយ ចំពោះករណី $n \geq 3$ ។

Hard proof by induction

With the arithmetic mean

\alpha ={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}

of the non-negative real numbers $x 1, . . . , x n$ , the AM–GM statement is equivalent to

\alpha ^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\,

with equality if and only if $α = x i$ for all $i \in {1, . . . , n$ }.

For the following proof we apply mathematical induction and only well-known rules of arithmetic.

Induction basis: For $n = 1$ the statement is true with equality.

Induction hypothesis: Suppose that the AM–GM statement holds for all choices of $n$ non-negative real numbers.

Induction step: Consider $n + 1$ non-negative real numbers. Their arithmetic mean $α$ satisfies

(n+1)\alpha =\ x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}.\,

If all numbers are equal to $α$ , then we have equality in the AM–GM statement and we are done. Otherwise we may find one number that is greater than $α$ and one that is smaller than $α$ , say $x n > α$ and $x n +1 < α$ . Then

(x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0\,.\qquad (*)

Now consider the $n$ numbers $x 1, . . . , x n -1, y$ with

y:=x_{n}+x_{n+1}-\alpha \geq x_{n}-\alpha >0\,,

which are also non-negative. Since

n\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y},

$α$ is also the arithmetic mean of $n$ numbers $x 1, . . . , x n -1, y$ and the induction hypothesis implies

\alpha ^{n+1}=\alpha ^{n}\cdot \alpha \geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}y\cdot \alpha .\qquad (**)

Due to (*) we know that

(\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y})\alpha -x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0,

hence

y\alpha >x_{n}x_{n+1}\,,\qquad ({*}{*}{*})

in particular $α > 0$ . Therefore, if at least one of the numbers $x 1, . . . , x n -1$ is zero, then we already have strict inequality in (**). Otherwise the right-hand side of (**) is positive and strict inequality is obtained by using the estimate (***) to get a lower bound of the right-hand side of (**). Thus, in both cases we get

\alpha ^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}\,,

which completes the proof.

Proof by Cauchy using forward-backward-induction

The following proof by cases relies directly on well-known rules of arithmetic but employs the rarely used technique of forward-backward-induction. It is essentially from Augustin Louis Cauchy and can be found in his Cours d'analyse.^[២]

The case where all the terms are equal

If all the terms are equal:

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n},$

then their sum is $nx 1$ , so their arithmetic mean is $x 1$ ; and their product is $x 1 n$ , so their geometric mean is $x 1$ ; therefore, the arithmetic mean and geometric mean are equal, as desired.

The case where not all the terms are equal

It remains to show that if not all the terms are equal, then the arithmetic mean is greater than the geometric mean. Clearly, this is only possible when $n > 1$ .

This case is significantly more complex, and we divide it into subcases.

The subcase where n = 2

If $n = 2$ , then we have two terms, $x 1$ and $x 2$ , and since (by our assumption) not all terms are equal, we have:

{\begin{aligned}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&={\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}>0,\end{aligned}}

hence

{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}

as desired.

The subcase where n = 2^k

Consider the case where $n = 2 k$ , where $k$ is a positive integer. We proceed by mathematical induction.

In the base case, $k = 1$ , so $n = 2$ . We have already shown that the inequality holds when $n = 2$ , so we are done.

Now, suppose that for a given $k > 1$ , we have already shown that the inequality holds for $n = 2 k -1$ , and we wish to show that it holds for $n = 2 k$ . To do so, we apply the inequality twice for $2 k -1$ numbers and once for $2$ numbers to obtain:

{\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}

where in the first inequality, the two sides are equal only if

x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}

and

x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=\cdots =x_{2^{k}}

(in which case the first arithmetic mean and first geometric mean are both equal to $x 1$ , and similarly with the second arithmetic mean and second geometric mean); and in the second inequality, the two sides are only equal if the two geometric means are equal. Since not all $2 k$ numbers are equal, it is not possible for both inequalities to be equalities, so we know that:

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}

as desired.

The subcase where n < 2^k

If $n$ is not a natural power of $2$ , then it is certainly less than some natural power of 2, since the sequence $2, 4, 8, . . . , 2 k, . . .$ is unbounded above. Therefore, without loss of generality, let $m$ be some natural power of $2$ that is greater than $n$ .

So, if we have $n$ terms, then let us denote their arithmetic mean by $α$ , and expand our list of terms thus:

x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=\alpha .

We then have:

{\begin{aligned}\alpha &={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+\left(m-n\right)\alpha }{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}}\,,\end{aligned}}

so

\alpha ^{m}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}

and

\alpha >{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}

as desired.

Proof by induction using basic calculus

The following proof uses mathematical induction and some basic differential calculus.

Induction basis: For $n = 1$ the statement is true with equality.

Induction hypothesis: Suppose that the AM–GM statement holds for all choices of $n$ non-negative real numbers.

Induction step: In order to prove the statement for $n + 1$ non-negative real numbers $x 1, . . . , x n, x n +1$ , we need to prove that

{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1}})^{\frac {1}{n+1}}\geq 0

with equality only if all the $n + 1$ numbers are equal.

If all numbers are zero, the inequality holds with equality. If some but not all numbers are zero, we have strict inequality. Therefore, we may assume in the following, that all $n + 1$ numbers are positive.

We consider the last number $x n +1$ as a variable and define the function

f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}t})^{\frac {1}{n+1}},\qquad t>0.

Proving the induction step is equivalent to showing that $f (t) \geq 0$ for all $t > 0$ , with $f (t) = 0$ only if $x 1, . . . , x n$ and $t$ are all equal. This can be done by analyzing the critical points of $f$ using some basic calculus.

The first derivative of $f$ is given by

f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}},\qquad t>0.

A critical point $t 0$ has to satisfy $f' (t 0) = 0$ , which means

({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t_{0}^{-{\frac {n}{n+1}}}=1.

After a small rearrangement we get

t_{0}^{\frac {n}{n+1}}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}},

and finally

t_{0}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}},

which is the geometric mean of $x 1, . . . , x n$ . This is the only critical point of $f$ . Since $f'' (t) > 0$ for all $t > 0$ , the function $f$ is strictly convex and has a strict global minimum at $t 0$ . Next we compute the value of the function at this global minimum:

{\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{1/n}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}{\Bigr )}\geq 0,\end{aligned}}.

where the final inequality holds due to the induction hypothesis. The hypothesis also says that we can have equality only when $x 1, . . . , x n$ are all equal. In this case, their geometric mean $t 0$ has the same value, Hence, unless $x 1, . . . , x n, x n +1$ are all equal, we have $f (x n +1) > 0$ . This completes the proof.

This technique can be used in the same manner to prove the generalized AM–GM inequality and Cauchy–Schwarz inequality in Euclidean space $R n$ .

Proof by Pólya using the exponential function

George Pólya provided a proof similar to what follows. Let $f (x) = e x -1 - x$ for all real $x$ , with first derivative $f' (x) = e x -1 - 1$ and second derivative $f'' (x) = e x -1$ . Observe that $f (1) = 0$ , $f' (1) = 0$ and $f'' (x) > 0$ for all real $x$ , hence $f$ is strictly convex with the absolute minimum at $x = 1$ . Hence $x \leq e x -1$ for all real $x$ with equality only for $x = 1$ .

Consider a list of non-negative real numbers $x 1, x 2, . . . , x n$ . If they are all zero, then the AM–GM inequality holds with equality. Hence we may assume in the following for their arithmetic mean $α > 0$ . By $n$ -fold application of the above inequality, we obtain that

{\begin{aligned}{{\frac {x_{1}}{\alpha }}{\frac {x_{2}}{\alpha }}\cdots {\frac {x_{n}}{\alpha }}}&\leq {e^{{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1}e^{{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1}\cdots e^{{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1}}\\&=\exp {\Bigl (}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1{\Bigr )},\qquad (*)\end{aligned}}

with equality if and only if $x i = α$ for every $i \in {1, . . . , n}$ . The argument of the exponential function can be simplified:

{\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{\alpha }}-n\\&=n-n\\&=0.\end{aligned}}

Returning to $(*)$ ,

{\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{\alpha ^{n}}}\leq e^{0}=1,

which produces $x 1 x 1 \cdot \cdot \cdot x n \leq α n$ , hence the result^[៣]

{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \alpha .

Generalizations

Weighted AM–GM inequality

There is a similar inequality for the weighted arithmetic mean and weighted geometric mean. Specifically, let the nonnegative numbers $x 1, x 2, . . . , x n$ and the nonnegative weights $w 1, w 2, . . . , w n$ be given. Set $w = w 1 + w 2 + \cdot \cdot \cdot + w n$ . If $w > 0$ , then the inequality

{\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}

holds with equality if and only if all the $x k$ with $w k > 0$ are equal. Here the convention $00 = 1$ is used.

If all $w k = 1$ , this reduces to the above inequality of arithmetic and geometric means.

Proof using Jensen's inequality

Using the finite form of Jensen's inequality for the natural logarithm, we can prove the inequality between the weighted arithmetic mean and the weighted geometric mean stated above.

Since an $x k$ with weight $w k = 0$ has no influence on the inequality, we may assume in the following that all weights are positive. If all $x k$ are equal, then equality holds. Therefore, it remains to prove strict inequality if they are not all equal, which we will assume in the following, too. If at least one $x k$ is zero (but not all), then the weighted geometric mean is zero, while the weighted arithmetic mean is positive, hence strict inequality holds. Therefore, we may assume also that all $x k$ are positive.

Since the natural logarithm is strictly concave, the finite form of Jensen's inequality and the functional equations of the natural logarithm imply

{\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}{\Bigr )}&>{\frac {w_{1}}{w}}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {w_{n}}{w}}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.\end{aligned}}

Since the natural logarithm is strictly increasing,

{\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}>{\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.

Other generalizations

Other generalizations of the inequality of arithmetic and geometric means include:

Notes

References

↑ Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. MAA Problem Books Series. Cambridge University Press. ល.ស.ប.អ. 978-0-521-54677-5. ម.ប.គ.ល. 54079548.
↑ Cauchy, Augustin-Louis (1821). Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, première partie, Analyse algébrique, Paris. The proof of the inequality of arithmetic and geometric means can be found on pages 457ff.
↑ Arnold, Denise; Arnold, Graham (1993). Four unit mathematics. Hodder Arnold H&S. p. 242. ល.ស.ប.អ. 978-0-340-54335-1. ម.ប.គ.ល. 38328013.

External links

Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format.

Category:Inequalities Category:Means Category:Articles containing proofs

[1] Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. MAA Problem Books Series. Cambridge University Press. ល.ស.ប.អ. 978-0-521-54677-5. ម.ប.គ.ល. 54079548.

[2] Cauchy, Augustin-Louis (1821). Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, première partie, Analyse algébrique, Paris. The proof of the inequality of arithmetic and geometric means can be found on pages 457ff.

[3] Arnold, Denise; Arnold, Graham (1993). Four unit mathematics. Hodder Arnold H&S. p. 242. ល.ស.ប.អ. 978-0-340-54335-1. ម.ប.គ.ល. 38328013.

[១]

[២]

[៣]

វិសមភាព AM-GM

មាតិកា

ប្រវត្តិ ឬ ព្រឹត្តិការណ៍ទាក់ទង

វិសមភាព AM-GM

ការពន្យល់តាមបែបធរណីមាត្រ

ឩទាហរណ៍អំពីការប្រើប្រាស់

ការអនុវត្តន៍ប្រើប្រាស់