អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទានដឺក្រេទី២

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទានដឺក្រេ២ជាអាំងតរក្រាលនៃអនុគមន៍ដែលមានរាង

$\color {blue}\int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}$

វាអាចគណនាដោយបំលែងភាគបែងជាទំរង់ការ៉េ

$\int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}\right)}}$

ករណីឌីគ្រីមីណង់ជាចំនួនវិជ្ជមាន

ដោយសន្មតឌីគ្រីមីណង់ Δ = b² − 4ac ជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីនេះតាង u និង Aដោយ

$u=x+{\frac {b}{2c}}$

និង

$-A^{2}={\frac {\Delta }{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}={\frac {1}{4c^{2}}}\left(4ac-b^{2}\right)$

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទានដឺក្រេទី២អាចសរសេរ

$\int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}-A^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{(u+A)(u-A)}}$

ដោយពន្លាតប្រភាគ គេបាន

${\frac {1}{(u+A)(u-A)}}={\frac {1}{2A}}\left({\frac {1}{u-A}}-{\frac {1}{u+A}}\right)$

យើងបាន

${\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{(u+A)(u-A)}}={\frac {1}{2Ac}}\ln \left({\frac {u-A}{u+A}}\right)+\mathrm {K}$   (ដែល K ជាថេរអាំងតេក្រាល)

គេទទួលលទ្ធផលនៃអាំងតេក្រាលក្នុងករណី Delta; > 0 គឺ

$\int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {\Delta }}}\ln \left({\frac {2cx+b-{\sqrt {\Delta }}}{2cx+b+{\sqrt {\Delta }}}}\right)+\mathrm {K} \,$   (ដែល $\Delta =b^{2}-4ac\,$)

ករណីឌីគ្រីមីណង់ជាចំនួនអវិជ្ជមាន

ដោយសន្មតឌីគ្រីមីណង់ Δ = b² − 4ac ជាចំនួនអវិជ្ជមាន។ តួទី២នៃប្រភាគ

$\int {\frac {dx}{a+bx+cx^{2}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {dx}{\left(x+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}\right)}}$

គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ នោះអាំងតេក្រាលក្លាយជា

${\frac {1}{c}}\int {\frac {du}{u^{2}+A^{2}}}$

$={\frac {1}{cA}}\int {\frac {du/A}{(u/A)^{2}+1}}$

$={\frac {1}{cA}}\int {\frac {dw}{w^{2}+1}}$

$={\frac {1}{cA}}\arctan(w)+\mathrm {K}$

$={\frac {1}{cA}}\arctan \left({\frac {u}{A}}\right)+\mathrm {K}$

$={\frac {1}{c{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}}\arctan \left({\frac {x+{\frac {b}{2c}}}{\sqrt {{\frac {a}{c}}-{\frac {b^{2}}{4c^{2}}}}}}\right)+\mathrm {K}$

$={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}\,}}}\arctan \left({\frac {2cx+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\right)+\mathrm {K}$

ដែល K ជាចំនួនថេរ (ថេរអាំងតេក្រាល)