កត្តាអាំងតេក្រាល

ក្នុងគណិតវិទ្យា កត្តាអាំងតេក្រាល​គឺ​ជា​អនុគមន៍​ដែលត្រូវបានគេ​ជ្រើសរើស​ដើម្បី​សំរួល​ដល់​ការដោះស្រាយ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

វិធីសាស្រ្ត

គេមានសមីការឌីផេរ៉ងស្យែលនៃទម្រង់

$y'+a(x)y=b(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(1)$

ដែល $\ y=y(x)$ ជាអនុគមន៍មិនស្គាល់នៃ $\ x$ និង $\ a(x)$និង$\ b(x)$ ជាអនុគមន៍ដែលគេអោយ។

វិធីសាស្រ្តកត្តាអាំងតេក្រាល​ដំណើរការ​ដោយត្រលប់​អង្គខាងធ្វេង​ទៅជា​ទម្រង់ដេរីវេនៃផលគុណ

ចាត់ទុកអនុគមន៍ $\ M(x)$ ។ យើងគុណអង្គទាំងសងខាងនឹងនៃ $\ \color {magenta}(1)$ ដោយ $\ M(x)$ យើងបាន

$M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(2)$

យើងចង់អោយអង្គខាងធ្វេងទៅជាទម្រង់ដេរីវេនៃផលគុណ (សូមមើល ក្បួនផលគុណ) ។ តាមពិត ប្រសិនបើយើងសន្មតថាអង្គខាងធ្វេងនេះអាចសំដែងឡើងវិញជា

$(M(x)y)'=M(x)b(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(3)$

អង្គខាងឆ្វេងក្នុង $\ \color {magenta}(3)$ អាចត្រូវបានធ្វើអាំងតេក្រាលយ៉ាងងាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃការគណនា៖

$y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C,$

ដែល $C$ ជាចំនួនថេរ ។ យើងអាចដោះស្រាយសមីការចំពោះ $\ y(x)$

$y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}\,$

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ $\ y(x)$ យើងចាំបាច់រកកន្សោមមួយចំពោះ $\ M(x)$ ។

សរសេរ $\ \color {magenta}(3)$ ឡើងវិញដោយប្រើក្បួនផលគុណ។

$(M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x)\quad \quad \quad$

តួសមភាពក្នុង $\ \color {magenta}(2)$ គឺវាប្រាកដថា $\ M(x)$ គោរពតាមសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

$M'(x)=a(x)M(x)\quad \quad \quad \color {magenta}(4)\,$

ដើម្បីទទួលបាន $\ M(x)$ ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $\ M(x)$ គេបាន

${\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0\quad \quad \quad \color {magenta}(5)$

សមីការ $\ \color {magenta}(5)$ គឺជាទម្រង់នៃដេរីវេលោការីត។ ដោយដោះស្រាយសមីការ $\ \color {magenta}(5)$ យើងបាន

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}$

យើងឃើញថាផលគុណនឹង $\ M(x)$ និងលក្ខណៈ $\ M'(x)=a(x)M(x)$ គឺមានសារៈសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ $\ M(x)$ ហៅថាកត្តាអាំងតេក្រាល។

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$y'-{\frac {2y}{x}}=0$

យើងអាចឃើញថាក្នុងករណីនេះ $a(x)={\frac {-2}{x}}$

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}$

$M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$ (សំគាល់៖ យើងមិនចាំបាច់បញ្ចូលថេរអាំងតេក្រាលទេ យើងត្រូវការតែចំលើយមួយគត់ មិនមែនចម្លើយទូទៅទេ)

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}$

ដោយគុណអង្គទាំងសងខាងនឹង $\ M(x)$ យើងបាន

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

ឬ

${\frac {y}{x^{2}}}=C\,$

ដូចនេះ

$\ y(x)=Cx^{2}$

បម្រើបម្រាស់ទូទៅ

ពាក្យកត្តាអាំងតេក្រាលស្ទើរតែជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី១។ ឧទាហរណ៍ចំពោះសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}$

អាចទទួលបាន ${\tfrac {dy}{dt}}$ នូវកត្តាអាំងតេក្រាល

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}$

ដើម្បីធ្វើអាំងតេក្រាល កត់សំគាល់ថា​អង្គទាំងសងខាង​នៃសមីការ​អាចសំដែងជាដេរីវេ​ដោយត្រលប់ថយក្រោយវិញជាមួយនិងក្បួនឆេន (chain rule) (ឬហៅថាទ្រឹស្តីបទដេរីវេនៃអនុគមន៍បណ្តាក់)៖

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right)$

ហេតុនេះ

$\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}$

ដោយប្រើវិធីបំបែកអថេរ គេបាន

$\int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1}$

នេះ​ជា​ដំណោះស្រាយអ៊ីមផ្លីស៊ីត​ដែលជាប់ទាក់ទង់និងអាំងតេក្រាលថ្នាក់ខ្ពស់។