ច្បាប់ហ៊ូក

ក្នុងមេកានិច, និង រូបវិទ្យា, ច្បាប់ហ៊ូក នៃ អេឡាស្ទីស៊ីតេ ជាការប្រហែលមួយដែលចែងថា សាច់លូតរបស់រ៉ឺសរមួយសមាមាត្រនឹងបន្ទុកដែលមានអំពើលើវា អោយតែបន្ទុកនោះមិនមានតំលៃលើសពីលីមីតអេឡាស្ទិចទេ។ សម្ភារៈដែលអាចប្រើច្បាប់ហ៊ូកបាន គេហៅថា សម្ភារៈលីនេអ៊ែរអេឡាស្ទិច រឺ សម្ភារៈហ៊ូក។ ឃ្លាសាមញ្ញរបស់ច្បាប់ហ៊ូកបានចែងថា ដេហ្វម៉ាស្យុងសមាមាត្រជាមួយកុងត្រាំង។ តាមបែបគណិតវិទ្យា ច្បាប់ហ៊ូកចែងថា

រ៉ឺសរមួយក្រោយទាញចុះក្រោមប្រវែង x ។ កំលាំង F ប្រឹងទាញរ៉ឺសរអោយទៅទីតាំងដើមវិញ

\ F=-kx,

ដែល

\ x

ជាបំលាស់ទី របស់ចុងរ៉ឺសរចេញពីទីតាំងលំនឹងរបស់វា (គិតជា "m" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI);

\ F

ជាកំលាំងដែលមានអំពើលើរ៉ឺសរ (គិតជា "N" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI); និង

\ k

ជាថេររ៉ឺសរ (គិតជា " N•m^-1" ក្នុងប្រព័ន្ធឯកតា SI).

សញ្ញាដក ក្នុងរូបមន្តខាងលើ មានន័យថា កំលាំងមានទិសដៅផ្ទុយពីបំលាស់ទី៖ បើយើងទាញទៅខាងឆ្វេង រ៉ឺសរទាញមកខាងស្ដាំវិញ។ នៅពេលដែលទំនាក់ទំនងរវាងកំលាំងនិងបំលាស់ទី គោរពតាមច្បាប់ហ៊ូក គេនិយាយថា រ៉ឺសរមានលក្ខណៈលីនេអ៊ែរ។ ច្បាប់ហ៊ូកត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម រ៉ូប៊ែរ ហ៊ូក ដែលជារូបវិទូអង់គ្លេសក្នុងសតវត្សរ៍ទី១៧។

អេឡាស្ទិច

របារមានមុខកាត់ A រងកំលាំង F

វត្ថុមួយមានលក្ខណៈអេឡាស្ទិចបើវាត្រលប់ទៅជាមានរូបរាងដូចដើមវិញភ្លាមៗក្រោយពីខូចទ្រង់ទ្រាយដោយសារកំលាំងមក ដោយម៉ូលេគុលរឺអាតូមរបស់សម្ភារៈត្រលប់ទៅសភាពដើមដែលជាសភាពមានលំនឹងស្តាប។ បើបន្ទាប់ពីដកកំលាំងចេញ វត្ថុនៅសល់ដេហ្វម៉ាស្យុងខ្លះ នោះយើងនិយាយថា វត្ថុនោះមានលក្ខណៈប្លាស្ទិច។

យើងពិនិត្យរបារមួយ ដែលសម្ភារៈរបស់វាអាចចាត់ទុកថាមានលក្ខណៈអេឡាស្ទិច ដូច្នេះរបារនេះប្រៀបបានជារ៉ឺសរលីនេអ៊ែរមួយដែរ។ របារមានប្រវែង $\ L$ មានមុខកាត់ $\ A$ ។ យើងចាប់ទាញរបារនេះដោយកំលាំង $\ F$ ។ តាមច្បាប់ហ៊ូក បំលាស់ទី $\ u$ សមាមាត្រនឹងកំលាំង $\ F$ ដូច្នេះ

\ F=ku

យើងមាន

កុងត្រាំង

\sigma ={\frac {F}{A}}\implies F=\sigma A

ដេហ្វម៉ាស្យុង

\epsilon ={\frac {u}{L}}\implies u=\epsilon L

ដូច្នេះ

F=ku\implies \sigma A=k\epsilon L

\implies \sigma ={\frac {kL}{A}}\epsilon =E\epsilon

ដែល $\textstyle E$ មានឈ្មោះថា ម៉ូឌុលយ៉ាំង។

ច្បាប់ហ៊ូកផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះសម្ភារៈខ្លះក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ទុកខ្លះតែប៉ុណ្ណោះ។ ដែក មានលក្ខណៈលីនេអ៊ែរអេឡាស្ទិចនៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្ដែងក្នុងវិស័យវិស្វកម្មភាគច្រើន ; ច្បាប់ហ៊ូកមានតំលៃត្រឹមត្រូវតែនៅក្នុងដែនអេឡាស្ទិចតែប៉ុណ្ណោះ (ឧទាហរណ៍ចំពោះកុងត្រាំងតូចជាង លីមីតអេឡាស្ទិច)។ សម្ភារៈខ្លះទៀត ដូចជា អាលុយមីញ៉ូម, ច្បាប់ហ៊ូកផ្ទៀងផ្ទាត់បានតែនៅលើផ្នែកណាមួយនៃដែនអេឡាស្ទិចតែប៉ុណ្ណោះ។ ចំពោះសម្ភារៈបែបនេះ គេកំនត់តំលៃកុងត្រាំងលីមីតមួយដែលនៅពេលកុងត្រាំងឋិតនៅក្រោមតំលៃលីមីតនេះ គេអាចសន្មតថាកុងត្រាំងសមាមាត្រនឹងដេហ្វម៉ាស្យុងបាន ដោយមិនសូវល្អៀងខ្លាំង ដែលលីមីតនោះគេហៅថា កុងត្រាំងលីមីតសមាមាត្រ។ កៅស៊ូ ត្រូវបានចាត់ទុកជាទូទៅថាមិនមែនជាប្រភេទសម្ភារៈហ៊ូកព្រោះអេឡាស្ទីស៊ីតេរបស់វាអាស្រ័យនឹងកុងត្រាំងនិងប្រែប្រួលខ្លាំងទៅតាមសីតុណ្ហភាពនិងអត្រាកំនើនបន្ទុក។ ការអនុវត្តច្បាប់ហ៊ូកមាននៅក្នុងម៉ាស៊ីនថ្លឹងប្រើរ៉ឺសរ ការវិភាគកុងត្រាំងនិងការធ្វើម៉ូដែលសម្ភារៈ។

កន្សោមតង់ស៊័រនៃច្បាប់ហ៊ូក

នៅពេលធ្វើការក្នុងសភាពកុងត្រាំង 3D, គេត្រូវតែកំណត់តង់ស៊័រលំដាប់ទី៤ ${\mathsf {c}}$ ( $c_{ijk\ell }$ ) ដែលមានកុំប៉ូសង់ចំនួន៨១ ដែលជាមេគុណអេឡាស្ទិច, ដើម្បីភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងរវាងកុងត្រាំង ${\boldsymbol {\sigma }}$ (σ_ij) និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង ${\boldsymbol {\epsilon }}$ ( $\epsilon _{k\ell }$ )។

{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\epsilon }}~.

ដោយសរសេរ ជាអនុគមន៍នៃកុំប៉ូសង់ក្នុងតម្រុយកែង, ទម្រង់ទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក អាចសរសេរជា (ដោយប្រើទម្រង់បូកសន្មតរបស់អាញស្តាញ)

\sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\epsilon _{k\ell }

តង់ស៊័រ ${\mathsf {c}}$ មានឈ្មោះថា តង់ស៊័រ stiffness ឬ តង់ស៊័រអេឡាស្ទីស៊ីតេ។ ដោយសារភាពស៊ីមេទ្រី នៃតង់ស៊័រកុងត្រាំង, តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុង និង តង់ស៊័រ stiffness, នោះ គេមានមេគុណអេឡាស្ទិចឯករាជ្យចំនួនតែ ២១ តែប៉ុណ្ណោះ។ ខ្នាតរបស់កុងត្រាំងដូចខ្នាតរបស់សម្ពាធ, ដេហ្វរម៉ាស្យុងគ្មានខ្នាត ដូច្នេះ មេគុណ $c_{ijk\ell }$ មានខ្នាតដូចសម្ពាធដែរ។

កន្សោមទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក អាចបញ្ច្រាសទាញរកដេហ្វរម៉ាស្យុងជាអនុគមន៍នៃកុងត្រាំងបាន និង កំណត់ដោយ ៖

{\boldsymbol {\epsilon }}={\mathsf {s}}:{\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\rm {or}}\qquad \epsilon _{ij}=s_{ijk\ell }~\sigma _{k\ell }~.

តង់ស៊័រ ${\mathsf {s}}$ ហៅថា compliance tensor។

សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូប

សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូបមានលក្ខណៈពិសេសត្រង់មិនអាស្រ័យនឹងទិសក្នុងលំហ។ ដូច្នេះ សមីការរូបសម្រាប់សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូប ក៏ត្រូវតែមិនអាស្រ័យនឹងប្រព័ន្ធអ័ក្ស ដែរ។ តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងមានភាពស៊ីមេទ្រី។ ដោយ Trace របស់គ្រប់តង់ស៊័រទាំងអស់មិនអាស្រ័យនឹងប្រព័ន្ធតម្រុយ ដូច្នេះការសរសេរតង់ស៊័រស៊ីមេទ្រីមួយដែលមិនអាស្រ័យនឹងប្រព័ន្ធអ័ក្ស គេគួរតែសរសេរជាអនុគមន៍នៃផលបូកនៃតង់ស៊័រថេរ និង តង់ស៊័រមាន Trace ស្មើសូន្យ។^[១] ដូច្នេះ៖

\varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)

ដែល $\delta _{ij}$ ជា សញ្ញា Kronecker។

តួទីមួយនៃអង្គខាងស្ដាំ ជាតង់ស៊័រថេរ ដែលគេហៅថា តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងមាឌ និង តួទីពីរ ជាតង់ស៊័រស៊ីមេទ្រី មាន Trace ស្មើសូន្យ ដែលគេហៅថា តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងលំងាក ឬ តង់ស៊័រកាត់។

ទម្រង់ទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក សម្រាប់សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូប ជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃតង់ស៊័រទាំងពីរ ៖

\sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)

ដែល K ជា ម៉ូឌុល bulk និង G ជា ម៉ូឌុលកាត់ ។ ទម្រង់នេះអាចសម្រួលមកជា ៖

\sigma _{ij}={\frac {E}{1+\nu }}\left(\varepsilon _{ij}+{\frac {\nu }{1-2\nu }}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)

ដែល៖

-

\sigma _{ij}

= កុងត្រាំង

-

E\

= ម៉ូឌុលយ៉ាំង (Young)

-

\nu

= មេគុណ Poisson

ទំរង់បញ្ចេញរបស់ច្បាប់នេះគឺៈ

{\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{22}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right]\\\varepsilon _{33}&={\tfrac {1}{E}}\left[\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right]\\\varepsilon _{12}&={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{12}~;~~\varepsilon _{13}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{13}~;~~\varepsilon _{23}={\tfrac {1}{2G}}~\sigma _{23}\end{aligned}}

ក្រោមទម្រង់ម៉ាទ្រីស ច្បាប់ហ៊ូកសម្រាប់សម្ភារៈអ៊ីសូត្រូបអាចសរសេរជា ៖

{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{31}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2(1+\nu )&0&0\\0&0&0&0&2(1+\nu )&0\\0&0&0&0&0&2(1+\nu )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}

ដែល $\gamma _{ij}:=2\varepsilon _{ij}$ ជា ដេហ្វរម៉ាស្យុងកាត់វិស្វកម្ម។ ទម្រង់ច្រាសអាចសរសេរជា

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&(1-2\nu )/2&0&0\\0&0&0&0&(1-2\nu )/2&0\\0&0&0&0&0&(1-2\nu )/2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

ដោយប្រើថេរ ឡាមេ (Lamé) $\lambda =K-2/3G$ និង $\mu =G$ , ទម្រង់នេះអាចសម្រួលទៅជា

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

ច្បាប់ហ៊ូកសម្រាប់សភាពប្លង់នៃកុងត្រាំង

ក្នុងលក្ខខណ្ឌសភាពប្លង់នៃកុងត្រាំង យើងមាន $\sigma _{33}=\sigma _{31}=\sigma _{13}=\sigma _{32}=\sigma _{23}=0$ ។ ក្នុងករណីនេះ ច្បាប់ហ៊ូក មានរាង

{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2(1+\nu )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}

ទម្រង់ច្រាស អាចសរសេរជា

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\cfrac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

សម្ភារៈអានីសូត្រូប

ដោយសារភាពស៊ីមេទ្រី នៃកុងត្រាំងកូស៊ី ( $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,$ ) និងទម្រង់ទូទៅនៃច្បាប់ហ៊ូក ( $\sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\epsilon _{k\ell }$ ) យើងទាញបានថា $c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }\,$ ។ ដូចគ្នា ភាពស៊ីមេទ្រីនៃ តង់ស៊័រដេហ្វរម៉ាស្យុងអតិសុខុម នាំឱ្យ $c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}\,$ ។ ភាពស៊ីមេទ្រីទាំងនេះ មានឈ្មោះថា ស៊ីមេទ្រីតូច នៃ តង់ស៊័រ stiffness ( ${\mathsf {c}}$ ) ។

ជាងនេះទៅទៀត ដោយសារក្រាដ្យង់បំលាស់ទី និង កុងត្រាំងកូស៊ី ជាកម្មន្តឆ្លាស់ នោះទំនាក់ទំនងកុងត្រាំងដេហ្វរម៉ាស្យុង អាចកំណត់ចេញពីអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេដេហ្វរម៉ាស្យុង ( $U$ ), ដូច្នេះ

\sigma _{ij}={\cfrac {\partial U}{\partial \epsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijk\ell }={\cfrac {\partial ^{2}U}{\partial \epsilon _{ij}\partial \epsilon _{k\ell }}}~.

ដោយសារលំដាប់លំដោយនៃការដេរីវេគ្មានភាពសំខាន់ នោះ $c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}\,$ ។ លក្ខណៈនេះហៅថា ស៊ីមេទ្រីធំ នៃតង់ស៊័រ stiffness tensor ។ ស៊ីមេទ្រីធំ និង ស៊ីមេទ្រីតូច បង្ហាញថា ម៉ាទ្រីស stiffness មានកុំប៉ូសង់ដាច់គ្នា ចំនួនតែ ២១ តែប៉ុណ្ណោះ។

ទម្រង់ម៉ាទ្រីស នៃតង់ស៊័រ Stiffness

ជាទូទៅ គេតែងតែសរសេរទម្រង់អានីសូត្រូបនៃច្បាប់ហ៊ូក ក្រោមទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលគេហៅថា ទម្រង់ Voigt ។ ដើម្បីសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស គេទាញយកប្រយោជន៍ពីភាពស៊ីមេទ្រីរបស់តង់ស៊័រកុងត្រាំង និង ដេហ្វរម៉ាស្យុង ហើយសរសេរពួកវាជាវ៉ិចទ័រមាន ៦ កុំប៉ូសង់ ក្នុងប្រព័ន្ធតម្រុយកែង( $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ ) ជា