បណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់

ក្នុងពិជគណិត បណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់គឺជា​កន្សោមរ៉ាឌីកាល់​ដែលមាន​កន្សោរ៉ាឌីកាល់​ផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍

${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }}$

${\sqrt {5+2{\sqrt {6}}\ }},$

កន្សោមស៊ាំញ៉ាំ

${\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}$

ការផ្តាច់រ៉ាឌីកាល់​ចេញពីកន្សោម​ត្រូវបានគេចាត់ទុកទូទៅថាជាបញ្ហាមួយដ៏​ស្មុគស្មាញ។ ក្នុងករណីពិសេសនៃបណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់​អាចត្រូវបានគេផ្តាច់រ៉ាឌីកាល់​ដោយសន្មតរ៉ាឌីកាល់​ដែលបានបញ្ចេញជាផលបូកនៃពីរចំនួនអសនិទាន។

${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}+{\sqrt {e}}$

$a+b{\sqrt {c}}=d+e+2{\sqrt {de}}$

វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយរូបមន្តរករឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២ ហើយដាក់ផែ្នកដែលមានរ៉ាឌីកាល់ និងផ្នែកដែលគ្មានរ៉ាឌីកាល់នៅលើអង្គទាំងពីរនៃសមីការអោយស្មើគ្នា។

បណ្តុំកន្សោមរ៉ាឌីកាល់អនន្ត

រឹសការ៉េ

ឧទាហរណ៍៖

គេមាន $2={\sqrt {2+2}}$ ហើយអាចបំលែងជា $2={\sqrt {2+{\sqrt {2+2}}}}$ គេបាន

$2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}$

$3={\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+{\sqrt {6+\cdots }}}}}}}}$

$4={\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+{\sqrt {12+\cdots }}}}}}}}$

ជាទូទៅ បើ $r\,$ ជាចំនួនពិតធំជាង១ គេបាន

$r={\sqrt {r(r-1)+{\sqrt {r(r-1)+{\sqrt {r(r-1)+{\sqrt {r(r-1)+\cdots }}}}}}}}$

ក្នុងលក្ខខណ្ឌច្បាស់លាស់ បណ្តុំរឹសការ៉េអនន្តដូចជា

$x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}$

តំណាងអោយចំនួនសនិទាន។ ចំនួនសនិទាននេះអាចត្រូវបានគេរកឃើញដោយអោយ x ចូលទៅក្នុងរ៉ាឌីកាល់ដែលបង្ហាញដូចសមីការខាងក្រោម៖

$x={\sqrt {2+x}}$

ប្រសិនបើយើងធ្វើការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងរកឃើញចំលើយ x = ២ (ចំលើយទី២គឺ x = −១ ប៉ុន្តែចំលើយមិនផ្ទៀថផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌទេដោយរឹសការេជាចំនួនវិជ្ជមាន) ។ ប្រសិនបើ n > 0 នោះគេបាន

${\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+\cdots }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {1+4n}}}{2}}$

តាមវិធីដូចគ្នាយើងបាន

${\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-\cdots }}}}}}}}={\frac {-1+{\sqrt {1+4n}}}{2}}$

វិធីនេះនឹងផ្តល់នូវតំលៃចំនួនសនិទាន x ចំពោះគ្រប់តំលៃនៃ n ដែល

${n}={x^{2}}+{x}\,$

រឹសគូប

ករណីប្រាកដជាក់លាក់ បណ្តុំរឹសគូបអនន្តដូចជា

$x={\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+\cdots }}}}}}}}$

អាចតំណាងអោយចំនួនសនិទានផងដែរ។ ដោយកំនត់អោយកន្សោមទាំងមូលស្ថិតនៅខាងក្នុងវាខ្លួនឯង យើងបានសមីការ

$x={\sqrt[{3}]{6+x}}$

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយសមីការនេះ យើងរកឃើញចំលើយ x = 2 ។ យើងឃើញថា

${\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+\cdots }}}}}}}}$ គឺជារឹសពិតនៃសមីការ$x^{3}-x-n=0\,\!$ ចំពោះគ្រប់ n ដែល n > 0 ។

តាមវិធីដូចគ្នា យើងបាន

${\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-\cdots }}}}}}}}$ ជារឹសពិតនៃសមីការ $x^{3}+x-n=0\,\!$ ចំពោះគ្រប់ n និង x ដែល n > 0 និង |x| ≥ 1 ។