ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់

ចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់(Line-plane intersection) អាចជាសំនុំទទេ ចំនុចមួយ ឬបន្ទាត់មួយ ។

ប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់

ទំរង់ប៉ារ៉ាម៉ែត

បន្ទាត់មួយត្រូវរៀបរាប់ដោយគ្រប់ចំនុចដែលជាទិសដៅដែលផ្តល់ ពីចំនុចមួយ ។ ដូចនេះ បន្ទាត់អាចសំដែងរាងជា

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t,\quad t\in \mathbb {R} \,$

ដែល $\mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})$ និង $\mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})$ ជាចំនុចពីរផ្សេងគ្នានៅលើបន្ទាត់ ។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះប្លង់

$\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v,\quad u,v\in \mathbb {R}$

ដែល $\mathbf {p} _{k}=(x_{k},y_{k},z_{k})$, $k=0,1,2$ ជាបីចំនុចស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើកូលីនេអ៊ែ(ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ) ។

ចំនុចដែលជាប្រសព្វរវាងបន្ទាត់និងប្លង់ ត្រូវគេរៀបរាប់ដោយដាក់សមីការបន្ទាត់ស្មើនឹងសមីការប្លង់ ក្នុងទំរង់ជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t=\mathbf {p} _{0}+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v$

វាអាចត្រូវគេសំរួលជា

$\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=(\mathbf {l} _{a}-\mathbf {l} _{b})t+(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})u+(\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})v\,$

ដែលអាចដាក់ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស ជា

${\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}$

ចំនុចប្រសព្វគឺ

$\mathbf {l} _{a}+(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})t$

បើបន្ទាត់ស្របនឹងប្លង់ នោះវ៉ិចទ័រ$\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}$, $\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}$ និង $\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}$ ជាលីនេអ៊ែពឹងពាក់គ្នា ហើយម៉ាទ្រីសជាម៉ាទ្រីសទោល ។ ចំលើយនេះកើតឡើងក្នុងករណីបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ។

បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ $t\in [0,1],$ នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រវាង $\mathbf {l} _{a}$ និង $\mathbf {l} _{b}$ ។

បើចំលើយផ្ទៀងផ្ទាត់

$u,v\in [0,1],\;\;\;(u+v)\leq 1\,$

នោះចំនុចប្រសព្វស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ ហើយស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណដែលបង្កើតដោយបីចំនុច

$\mathbf {p} _{0}$, $\mathbf {p} _{1}$ និង $\mathbf {p} _{2}$ ។

បញ្ហានេះជាទូទៅត្រូវគេដោះស្រាយដោយសំដែងវា ក្នុងទំរង់ម៉ាទ្រីស និង​ម៉ាទ្រីសច្រាស

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{a}-x_{b}&x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{a}-y_{b}&y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{a}-z_{b}&z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}x_{a}-x_{0}\\y_{a}-y_{0}\\z_{a}-z_{0}\end{bmatrix}}\,$

ទំរង់ពិជគណិត

សមីការប្លង់អាចត្រូវគេកំនត់ដោយ

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} =d$

ដែល $\mathbf {p} =(x,y,z)$ ជាចំនុចមួយនៅលើប្លង់ ហើយ$\mathbf {n}$ ជាវ៉ិទ័រណរម៉ាល់នឹងប្លង់ ។ វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់អាចត្រូវរកឃើញដោយ

$(\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0})\times (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0})$ and $d=\mathbf {p} _{0}\cdot \mathbf {n}$ ។

ដោយដាក់បញ្ចូលសមីការបន្ទាត់ វាអោយ

$(\mathbf {l} _{a}+t(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}))\cdot \mathbf {n} =d\,$

និង

$t={-d-\mathbf {l} _{a}\cdot \mathbf {n} \over (\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})\cdot \mathbf {n} }\,$ ។

ក្នុងរាងជាកូអរដោនេ បើ $\mathbf {n} =(a,b,c)$ នោះសមីការប្លង់សំដែងដោយ

$ax+by+cz=d\,$

និង

$t={-d-ax_{a}-by_{a}-cz_{a} \over a(x_{b}-x_{a})+b(y_{b}-y_{a})+c(z_{b}-z_{a})}\,$

បើទិសដៅនៃបន្ទាត់ $(\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a})$ កែងនឹងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ភាគបែងស្មើនឹងសូន្យ ។ បើ បន្ទាត់ស្ថិតក្នុងប្លង់ នោះទាំងភាគបែង និងភាគយកស្មើនឹងសូន្យ សមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់តំលៃនៃ t ។