អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា៖ ភាពខុសគ្នារវាងកំណែនានា
ខ្លឹមសារដែលបានលុបចោល ខ្លឹមសារដែលបានសរសេរបន្ថែម
No edit summary |
No edit summary |
||
បន្ទាត់ទី៥០៖
\Gamma(z+1) = \int_0^\infty e^{-t^{1/z}}\,dt \,\!
</math>
== ការទាញរកទំនាក់ទំនងជាមួយហ្វាក់តូរ្យែលដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក==
វាជាការងាយក្នុងការរក <math>\ \Gamma(1)</math>
:<math>\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{1-1} dx = \int_0^\infty e^{-x} dx = -e^{-\infty} - (-e^0) = 0 - (-1) = 1 </math>
បន្ទាប់មកយើងទាញរកកន្សោម <math>\ \Gamma(n + 1)</math> ជាអនុគមន៍នៃ <math>\ \Gamma(n)</math>:
:<math>\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1} dx = \int_0^\infty e^{-x} x ^n dx</math>
ដើម្បីដោះស្រាយ[[អាំងតេក្រាល]]នេះ យើងប្រើ[[អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក]]
:<math>\int_0^\infty e^{-x} x ^n dx = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} dx</math>
យើងឃើញថា <math>\frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0</math> ។
តាម[[ច្បាប់ឡួពីតាល់]] (L'Hôpital's rule) យើងបាន
:<math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot x^0}{e^x} = 0</math>
ហេតុនេះតួទី១ <math>\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty </math> មាន[[លីមីត]]ស្មើនឹង ០ ។ គេបាន
:<math>\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} dx</math>
អង្គខាងស្តាំនៃសមីការនេះមានតំលៃ <math>\ n \Gamma(n)</math> ។ យើងទទួលបានទំនាក់ទំនង
:<math>\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) </math>
ដោយប្រើរូបមន្ត យើងទាញបាន
:<math>\Gamma(2) = \Gamma(1 + 1) = 1\Gamma(1) = 1!\,</math>
:<math>\Gamma(3) = \Gamma(2 + 1) = 2\Gamma(2) = 2 \cdot 1! = 2! = 2\,</math>
:<math>\Gamma(4) = \Gamma(3 + 1) = 3\Gamma(3) = 3 \cdot 2! = 3! = 6\,</math>
:<math>\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n) = n\cdot(n-1)! = n!</math>
== តំលៃពិសេស==
ខាងក្រោមនេះជាតំលៃពិសេសមួយចំនួននៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង [[ដេរីវេ]]របស់វា តំលៃនៃ <math>\Gamma(1/2)</math> អាចអោយគេទាញបានរូបមន្តរកតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត។
:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}</math>
ចំពោះ <math>z=\frac{1}{2} \,</math> គេទាញបាន:
:<math>\Gamma(1/2) = \sqrt { \pi }</math>
តាមរយៈតំលៃនេះគេអាចកំនត់បានតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត
:{|
|-
| <math>\Gamma(-3/2)= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} </math>
|-
| <math>\Gamma(-1/2)= -2\sqrt{\pi}</math>
|-
| <math>\Gamma(1/2)= \sqrt{\pi}</math>
|-
| <math>\Gamma(1)=0!=1 \,</math>
|-
| <math>\Gamma(3/2)= \frac {\sqrt{\pi}} {2} </math>
|-
| <math>\Gamma(2)=1!=1 \,</math>
|-
| <math>\Gamma(5/2)=\frac {3 \sqrt{\pi}} {4} </math>
|-
| <math>\Gamma(3)=2!=2 \,</math>
|-
| <math>\Gamma(7/2)= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} </math>
|-
| <math>\Gamma(4)=3!=6 \,</math>
|-
|និងក្នុងករណីទូទៅ:
|-
| <math>\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)= \left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n-\frac{1}{2}\right)=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdots\frac{3}{2}\, \frac{1}{2}\,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!} \sqrt{\pi}</math>
|-
| ទំនាក់ទំនងរវាងដេរីវេ និង <math>\gamma</math> ថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី:
|-
| <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(\gamma+2\,\ln(2))</math>
|-
| <math>\Gamma'(1)=-\gamma\,</math>
|-
| <math>\Gamma'(2)=1-\gamma\,</math>
|-
| <math>\Gamma''(1/2)=\sqrt{\pi}(\gamma+2\,\ln(2))^{2}+\frac{\pi^{5/2}}{2}</math>
|-
| <math>\Gamma''(1)=\gamma^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}</math>
|-
| <math>\Gamma''(2)=(1-\gamma)^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}-1</math>
|}
[[Category:អនុគមន៍|ហ្គាំម៉ា]]
| |||