ភាពខុសគ្នារវាងកំណែនានារបស់ "ទ្រឹស្តីបទ ស៊ីនុស"

បញ្ជូនបន្តទៅ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស
(រ៉ូបូ បន្ថែម: als:Sinussatz)
(បញ្ជូនបន្តទៅ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស)
 
#ប្តូរទីតាំង [[ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស]]
នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ '''ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស''' (ឬ​​ច្បាប់ស៊ីនុស ឬ​​រូបមន្តស៊ីនុស) ជា​ទ្រឹស្តីបទ​​សិក្សា​​អំពី​​[[ត្រីកោណ]]​នៅ​ក្នុង​[[ប្លង់]]។
 
== ទ្រឹស្តីបទ ==
[[ឯកសារ:ត្រីកោណABCនិងរង្វង់ចារិកក្រៅកាំR.png|រូបតូច|ស្តាំ|[[ត្រីកោណ]] ABC ដែលមានជ្រុង a, b, c, ក្រលាផ្ទៃ S រង្វង់ចារឹកក្រៅ[[កាំ]] R និង[[មុំ]] A, B, C]]
គេមាន​[[ត្រីកោណ]] ABC ដែលមានជ្រុង a, b និង c និង A, B និង C ជាមុំឈមនៃជ្រុងទាំងនេះ(∠A=''A'', ∠B=''B'', ∠C=''C'') និង<math>R \,</math> ជាកាំនៃ[[រង្វង់]]ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបាន​​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​​បង្ហាញដូចខាងក្រោម
:<math>\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R</math>
 
ទ្រឹស្តីបទ​​នេះ​​ត្រូវ​បាន​គេ​​ប្រើប្រាស់​​ដើម្បី​​គណនា​​ជ្រុង​​នៃ​[[ត្រីកោណ]]​ដែលនៅសល់ ប្រសិនបើគេស្គាល់តំលៃនៃ[[មុំ]]២ និង​ជ្រុង​មួយ។ វា​ក៏​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​បាន​ដែល នៅ​គេ​ស្គាល់​ជ្រុង​ពីរ និង​មុំ​មួយ។
 
:<math>\begin{align}
2R = \frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\
& {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) }}
\end{align}</math>
 
ដែល <math>S \,</math> ជា[[ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ]] និង <math>p \,</math> ជា[[កន្លះបរិមាត្រ]]។
 
:<math>p = \frac{a+b+c} {2}</math>
 
== សំរាយបញ្ជាក់ ==
[[ឯកសារ:Law of sines proof.svg|រូបតូច|ស្តាំ|△ABC កំពស់ h គូសចេញពីកំពូល C]]
* <big>'''{{ខៀវ|សំរាយបញ្ជាក់}}'''</big> <math>\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math>
 
គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងមុំ A B C បង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ។ h ជា​[[កំពស់ត្រីកោណ|កំពស់]]​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល C មកជ្រុង AB ។ តាម​និយមន័យ​វា​ចែក​[[ត្រីកោណ]] ABC ជា​ពីរ​[[ត្រីកោណកែង]]​។ គេ​បាន
 
:<math>\sin A = \frac{h}{b} </math> &nbsp;&nbsp;និង&nbsp;&nbsp;<math> \sin B = \frac{h}{a}</math>
:<math>\Rightarrow h = b\,(\sin A) = a\,(\sin B)</math>
:<math>\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \,\,\, (1)</math>
 
ដូចគ្នា​ដែរ​ចំពោះ​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល A មក​ជ្រុង BC នៃ​[[ត្រីកោណ]] គេបាន
 
::<math> \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \,\,\, (2)</math>
 
<math>(1) \,</math> និង <math>(2) \,</math> យើង​បាន
:<math>\color{blue}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math>
 
----
 
* <big>'''{{ខៀវ|សំរាយបញ្ជាក់}}'''</big> <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =\color{magenta}2R</math>
 
គេមាន[[ត្រីកោណ]] ABC ចារឹកក្នុង[[រង្វង់]]កាំ R និង <math>BC=a ,\quad \ang A=A</math>
:: '''(ក) - ករណី''' <math>0 < \ang A < \frac{\pi}{2}</math> (មុំ A ជាមុំស្រួច)
[[ឯកសារ:ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (មុំ A=D).png|ស្តាំ|រូបតូច|250px|{{កណ្តាល|ករណីមុំ A ជាមុំស្រួច}}]]
 
BD ជា​[[អង្កត់ផ្ចិត]]​នៃ[[រង្វង់ចារឹកក្រៅ]]​ត្រីកោណ នោះ​ចំនុច D គឺ​ស្ថិត​នៅ​លើ​[[រង្វង់]] ។
 
នាំអោយ <math>BD = 2R \,</math> (R ជាកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ)
 
ដោយ​យោង​តាម​ទ្រឹស្តីបទ​[[មុំចារឹកក្នុង]]រង្វង់ គេបាន
: <math>\ang A = \ang D \,</math> (មុំ A ស្មើមុំ D)
 
BD ជា[[អង្កត់ផ្ចិត]]នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ នោះគេបាន
: <math>{\rm BD} = 2R ,\ </math> និង <math> \ang {\rm BCD} = {\pi \over 2}\ </math>
 
តាង <math> \ang {\rm BDC} = \ang D = D </math> គេបាន
:: <math> \sin D = \frac{BC}{BD} = {a \over 2R} \qquad \Rightarrow \frac{a}{\sin D} = 2R</math>
 
ដោយមុំ D = A គេបាន <math> {a \over \sin A} = 2R </math>
 
តាមរយៈវិធីដូចគ្នាចំពោះផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន
:: <math> {b \over \sin B} = 2R </math>
:: <math> {c \over \sin C} = 2R </math>
 
ហេតុនេះ <math>\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R </math>
 
<div style="border-top: solid 1.5px orange;">
:: '''(ខ) - ករណី''' <math> \ang A = \frac{\pi}{2}</math> (មុំ A ជា[[មុំកែង]])
[[ឯកសារ:ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (មុំ A= ៩០ដឺក្រេ).png|ស្តាំ|រូបតូច|250px|<center>ករណីមុំ A = ៩០<sup>០</sup></center>]]
 
មុំ A ជា[[មុំកែង]] គេបាន BC ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ
::<math>BC = 2R = a \,</math>
::<math>\Rightarrow \sin A = \sin \frac{\pi}{2} = 1 </math>
::<math>\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{1} = 2R \qquad \color{blue} (i)</math>
 
ABC ជា[[ត្រីកោណកែង]] គេបាន
: <math>\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} = \frac{b}{2R} \qquad \frac{b}{\sin B} = 2R \qquad \color{blue} (ii)</math>
: <math>\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a} = \frac{c}{2R} \qquad \frac{c}{\sin C} = 2R \qquad \color{blue} (iii)</math>
 
តាម<math>\color{blue} (i) \quad (ii) </math> និង <math>\color{blue} \quad (iii)</math> យើងបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស
:<math>\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R </math>
</div>
<div style="border-top: solid 1.5px orange;">
:: '''(គ) - ករណី''' <math>\frac{\pi}{2} < \ang A <\pi </math>{{Spaces|4}} (មុំ A ជាមុំទាល)
[[ឯកសារ:ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (មុំ A ជាមុំទាល).png|ស្តាំ|រូបតូច|250px|{{កណ្តាល|ករណីមុំ A ជាមុំទាល}}]]
 
ករណី BD ជា[[អង្កត់ផ្ចិត]]នៃ[[រង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ]] គេបានចំនុច D ស្ថិតនៅលើ[[រង្វង់]]។ យោង​តាម​លក្ខណៈ​​[[ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់|រង្វង់ចារឹកក្រៅចតុកោណ]] (=[[ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់]])​​គេបាន
:<math>A + D = \pi \qquad D = \pi - A \,</math> (ដែល <math>A =\ang A,\quad D =\ang D \,</math> )
:<math>\Rightarrow \sin D = \sin (\pi - A) = \sin A</math>
 
BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ
: <math>\Rightarrow BD = 2R \,</math>
 
BCD ជា[[ត្រីកោណកែង]]​ត្រង់ C គេបាន
:<math>\sin A = \sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R} \qquad \Rightarrow \frac{a}{\sin A} = 2R</math>
 
ធ្វើដូចគ្នាដែរចំពោះមុំផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន
:<math>\frac{b}{\sin B} = 2R</math>
:<math>\frac{c}{\sin C} = 2R</math>
 
ហេតុនេះ <math>\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R </math>
</div>
<div style="border-top: solid 1.5px orange;">
សនិដ្ឋាន: ដូចនេះគេបាន​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស <math>\color{magenta} {a \over \sin A} = {b \over \sin B} = {c \over \sin C} = 2R </math> ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណីទាំងបីខាងលើ។
</div>
 
== បំណក​ស្រាយ​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​ដោយប្រើ​[[ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស]] ==
[[ឯកសារ:ត្រីកោណ និង កំពស់.svg|320px|thumb|right|<center><math>\begin{align}a&=BH+HC\\ &=AB\cdot \cos B + AC\cdot \cos C\\ &= {\color{blue}c\cos B + b\cos C} \\ \Rightarrow b&=a\cos C +c \cos A \\ \Rightarrow c&=a\cos B +b \cos A \end{align}</math></center>]]
[[ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស]]
 
:<math>\begin{align}a^{2}&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos{(B+C)} \\ &=b^{2}+c^{2}+2bc\cos{B}\cos{C}-2bc\sin{B}\sin{C} \\ &=(b\cos{C}+c\cos{B})^{2}+(b\sin{C}-c\sin{B})^{2} \\ &=a^{2}+(b\sin{C}-c\sin{B})^{2} \\ & \Rightarrow b\sin{C}-c\sin{B} = 0 \\ & \Longleftrightarrow \frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}} \qquad \color{MidnightBlue} (i) \end{align}</math>
 
ដូចគ្នាដែរចំពោះ
:<math>b^{2}=a^{2}+c^{2}+2ac\cos{(A+C)} \Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=\frac{c}{\sin{C}} \qquad \color{MidnightBlue} (ii) </math>
:<math>c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos{(A+B)} \Rightarrow \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}} \qquad \color{MidnightBlue} (iii) </math>
 
ដូចនេះ តាម <math>\color{MidnightBlue} (i), \quad (ii) </math> និង <math>\color{MidnightBlue} (iii) </math> គេបាន
:<math>\color{magenta}\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math>
 
== អនុវត្ត ==
គេមាន​[[ត្រីកោណ]] ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b​, c​ ចារឹកក្នុងរង្វង់[[កាំ]] R ។ ស្រាយបំភ្លឺថាៈ
:<math> a \cos A + b \cos B + c \cos C = \frac{2S} {R}</math>
 
ដែល <math> S \,</math> ជា[[ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ]] ABC ។
 
'''ដំណោះស្រាយ'''
 
តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសនៃត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុង[[រង្វង់]]កាំ R
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow
\begin{cases}
a = 2Rsin A\\
b = 2Rsin B \\
c= 2Rsin C \\
\end{cases}
</math>
 
យើងបាន:
 
<math>\begin{align}
acos A + bcos B + ccos C &= 2Rsin Acos A + 2Rsin Bcos B + 2Rsin Ccos C \\
&=R( 2sin Acos A + 2sin Bcos B + 2sin Ccos C )\\
&=R( 2sin Acos A + sin 2B + sin 2C )\\
&=R[ 2sin Acos A + 2sin (B+C) cos(B-C) ]\\
&=R[ 2sin Acos A + 2sin A cos(B-C) ] \\
& (B+C = \pi - A \Rightarrow sin (B+C) = sin (\pi - A) = sin A)\\
&=2R sin A[cos (B-C) - cos(B+C) ] \\
& (A = \pi - (B+C) \Rightarrow cos A = cos [\pi - (B+C)] = -cos (B+C)\\
&=2Rsin A \cdot 2sin B sin C \\
&=4Rsin A \cdot sin B sin C \\
&=4R \cdot \frac{a} {2R} \cdot \frac{b} {2R} \cdot \frac{c} {2R} \\
&= \frac{abc} {2R^2} \,\,\,\, (1) \\
\end{align}</math>
 
<math>\ S</math> ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់[[កាំ]] R <math>\Rightarrow S = \frac{abc} {4R} \Rightarrow abc = 4RS</math>
 
ជំនួស abc ក្នុង <math>(1) \,</math> យើងបាន
 
<math>acos A + bcos B + ccos C = \frac{4RS} {2R^2} = \frac{2S} {R}</math>
 
ដូចនេះ
:<math>acos A + bcos B + ccos C = \frac{2S} {R}</math>
 
== ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរ ==
[[ឯកសារ:Spherical triangle with notations.png|200ភស|រូបតូច|ស្តាំ|ត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC ]]
គេមានត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC ស្ថិតនៅលើ[[ស្វ៊ែរ]]ដែលមាន[[ផ្ចិត]] O [[កាំ]] <math>\rho \,</math> ដូចក្នុងរូបខាងស្តាំ នោះ​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស​អាចសរសេរ
: <math>{{\sin a} \over {\sin A}} = {{\sin b} \over {\sin B}} = {{\sin c} \over {\sin C}} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c} </math>
 
ដែល
 
* <math>\alpha = \ang A \,</math>
* <math>\beta = \ang B \,</math>
* <math>\gamma = \ang C \,</math>
* <math>V_{\mathrm{OABC}} \,</math> ជា[[មាឌ]]នៃ[[តេត្រាអែត]] OABC ។
 
== សូមមើលផងដែរ ==
* [[ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស]]
* [[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]]
* [[ទ្រឹស្តីបទតង់សង់]]
 
{{អត្ថបទពិសេស}}
 
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ទ្រឹស្តីបទគណិតវិទ្យា|ស៊ីនុស]]
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:ត្រីកោណមាត្រ]]
[[ចំនាត់ថ្នាក់ក្រុម:មុំ]]
 
[[als:Sinussatz]]
[[ar:قانون الجيب]]
[[bg:Синусова теорема]]
[[bs:Sinusni teorem]]
[[ca:Teorema del sinus]]
[[cs:Sinová věta]]
[[da:Sinusrelation]]
[[de:Sinussatz]]
[[en:Law of sines]]
[[eo:Leĝo de sinusoj]]
[[es:Teorema del seno]]
[[fa:قانون سینوس‌ها]]
[[fi:Sinilause]]
[[fr:Loi des sinus]]
[[he:משפט הסינוסים]]
[[hu:Szinusztétel]]
[[id:Hukum sinus]]
[[is:Sínusreglan]]
[[it:Teorema dei seni]]
[[ja:正弦定理]]
[[ka:სინუსების თეორემა]]
[[ko:사인 법칙]]
[[ms:Hukum sinus]]
[[nl:Sinusregel]]
[[no:Sinussetningen]]
[[pl:Twierdzenie sinusów]]
[[pms:Teorema dij sen]]
[[pt:Lei dos senos]]
[[ro:Teorema sinusurilor]]
[[ru:Теорема синусов]]
[[sk:Sínusová veta]]
[[sl:Sinusni izrek]]
[[sq:Teorema e sinusit]]
[[sr:Синусна теорема]]
[[sv:Sinussatsen]]
[[tr:Sinüs teoremi]]
[[uk:Теорема синусів]]
[[ur:قانون جیب]]
[[zh:正弦定理]]
៩៤៦៩

កំណែប្រែ