ក្នុងធរណីមាត្រ វិសមភាពភីដូ (Pedoe's inequality) ត្រូវបានគេយកឈ្មោះតាមអ្នកគណិតវិទូ និង ធរណីមាត្រវិទូជនជាតិអង់គ្លេសឈ្មោះ ដាន្យែល ភីដូ (Daniel Pedoe )។ វិសមភាពនេះពោលថា ប្រសិនបើ a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណ ដែលមានក្រលាផ្ទៃ f និង A, B, និង C គឺជារង្វាស់នៃជ្រុងនៃត្រីកោណ ដែលមានក្រលាផ្ទៃ F នោះគេបាន
A 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) + B 2 ( a 2 + c 2 − b 2 ) + C 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) ≥ 16 F f {\displaystyle \color {Violet}A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff\,} ហើយវិសមភាពនេះក្លាយជាសមភាពលុះត្រាតែត្រីកោណ ទាំងពីរដូចគ្នា។
ចូរកត់សំគាល់ថាកន្សោមនៅអង្គខាងធ្វេងនៃវិសមភាព គឺមិនត្រឹមតែស៊ីមេទ្រីក្រោមចំលាស់ ទាំង៦នៃសំនុំនៃគូ { ( A , a ) , ( B , b ) , ( C , c ) } {\displaystyle \{(A,a),(B,b),(C,c)\}\,} នោះទេ ថែមទាំង(ប្រហែលជាមិនច្បាស់លាស់ទេ) វានៅដដែល(មិនផ្លាស់ប្តូរ) ប្រសិនបើ a អាចប្តូរជាមួយនឹង A, b អាចប្តូរជាមួយនឹង B ហើយ c អាចប្តូរជាមួយនឹង C បាន។ ម្យ៉ាងវិញទៀត វាជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រីនៃគូត្រីកោណ។
វិសមភាពភីដូជាវិសមភាពទូទៅនៃវិសមភាពវេតស្សឹនបុក (Weitzenböck's inequality)។
សំរាយបញ្ជាក់
កែប្រែ
តាមរូបមន្តហេរុង ចំពោះត្រីកោណ ទាំងពីរគេបាន
16 f 2 = ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( b + c − a ) = ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) ⇒ 16 f 2 + 2 a 4 + 2 b 4 + 2 c 4 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}16f^{2}&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&\Rightarrow 16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\end{aligned}}}
16 F 2 = ( A + B + C ) ( A + B − C ) ( A − B + C ) ( B + C − A ) = ( A 2 + B 2 + C 2 ) 2 − 2 ( A 4 + B 4 + C 4 ) ⇒ 16 F 2 + 2 A 4 + 2 B 4 + 2 C 4 = ( A 2 + B 2 + C 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}16F^{2}&=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})\\&\Rightarrow 16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4}=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}\end{aligned}}} ដោយប្រើវិសមភាពកូស៊ី គេបាន
16 F f + 2 A 2 a 2 + 2 B 2 b 2 + 2 C 2 c 2 ≤ ( 16 F 2 + 2 A 4 + 2 B 4 + 2 C 4 ) ( 16 f 2 + 2 a 4 + 2 b 4 + 2 c 4 ) ≤ ( A 2 + B 2 + C 2 ) 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 ≤ ( A 2 + B 2 + C 2 ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ A 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + B 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + C 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}16Ff+2A^{2}a^{2}+2B^{2}b^{2}+2C^{2}c^{2}&\leq {\sqrt {(16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4})}}{\sqrt {(16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4})}}\\&\leq {\sqrt {(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\&\leq (A^{2}+B^{2}+C^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\end{aligned}}} ជាលទ្ធផល
16 F f ≤ A 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 a 2 A 2 + B 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 b 2 B 2 + C 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 c 2 C 2 ≤ A 2 ( a 2 + b 2 + c 2 − 2 a 2 ) + B 2 ( a 2 + b 2 + c 2 − 2 b 2 ) + C 2 ( a 2 + b 2 + c 2 − 2 c 2 ) ≤ A 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) + B 2 ( a 2 + c 2 − b 2 ) + C 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}16Ff&\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}\\&\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2a^{2})+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2c^{2})\\&\leq A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\end{aligned}}} ដូចនេះ
∴ A 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) + B 2 ( a 2 + c 2 − b 2 ) + C 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) ≥ 16 F f {\displaystyle \therefore \quad \color {Violet}A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff\,} វិសមភាពក្លាយជាសមភាពលុះត្រាតែ
a A = b B = c C = f F {\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {b}{B}}={\frac {c}{C}}={\sqrt {\frac {f}{F}}}} តំនភ្ជាប់ក្រៅ
កែប្រែ