រូបមន្តអយល័រ-ម៉ាក្លូរីន

ក្នុង​គណិតវិទ្យា រូបមន្តអយល័រ​-​ម៉ាក្លូរីន (Euler–Maclaurin formula) (ឬ​ហៅថា​រូបមន្តផលបូកអយល័រ) គឺជា​ទំនាក់ទំនង​រវាង​អាំងតេក្រាល​និង​ផលបូក។ វា​សំដែង​ជាផ​លបូក​នៃ​ស៊េរី​។ វា​ត្រូវបានគេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​គណនា​រក​តំលៃប្រហែលនៃ​​អាំងតេក្រាល​​ដោយ​ផលបូក​កំនត់​មួយ ឬ ច្រាស់​មក​វិញ​វា​ត្រូវ​បានគេ​ប្រើ​ប្រាស់​ដើម្បីរក​​ផល​បូក​នៃស៊េរី​កំនត់​​និង​​មិន​កំនត់​ដោយ​ប្រើ​អាំងតេក្រាល​និង​​ម៉ាស៊ីន​​សំរាប់​​គណនា។ រូបមន្ត​នេះ​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​យ៉ាង​ឯករាជ​ដោយ​គណិតវិទូស្វ៊ីស លេអូណា អយល័រ និង គណិតវិទូស្កុត កូលីន ម៉ាក្លូរីន ប្រហែលជាឆ្នាំ​១៧៣៥​។ អយល័រ​​បាន​ត្រូវ​ការ​វា​ដើម្បី​គណនា​ស៊េរីអនន្ត​​ដែល​ម៉ាក្លូរីន​​បាន​ប្រើវា​ដើម្បី​គណនា​​អាំងតេក្រាល​។

រូបមន្ត

គេ​មាន​ពីរ​ចំនួនគត់ p និង q ។ ចំពោះ​អនុគមន៍ f ជាអនុគមន៍ជាប់​និង​មាន​ដេរីវេ 2k ដងលើចន្លោះ $\ [p,q]$ គេបាន​រូបមន្តអយល័រ-ម៉ាក្លូរីន​សំដែងដោយ

${\frac {f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}}+\sum _{j=p+1}^{q-1}f\left(j\right)=\int _{p}^{q}f(x)\,dx+\sum _{j=1}^{k}{\frac {b_{2j}}{(2j)!}}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R$

ដែល

$R=-\int _{p}^{q}f^{(2k)}(x){B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor ) \over (2k)!}\,dx$

$\ B_{i}(x)$ តំណាងអោយ​ពហុធាប៊ែរនូយី​ទី​$\ i$ និង $B_{i}(x-\lfloor x\rfloor )$ គឺជាអនុគមន៍ខួប​។ $\ b_{i}$ តំណាងអោយ​ចំនួនប៊ែរនូយី​​៖

$b_{1}=-{\frac {1}{2}},b_{2}={\frac {1}{6}},b_{3}=0,b_{4}=-{\frac {1}{30}},b_{5}=0,b_{6}={\frac {1}{42}},b_{7}=0,b_{8}=-{\frac {1}{30}},b_{9}=0,b_{10}={\frac {5}{66}},\cdots$

$B_{0}(x)=1,B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},\dots$

វិធីប្តូរអថេរ​អាច​ទទួល​បាន​រូបមន្ត​ដូចគ្នា​ចំពោះ​អនុគមន៍​មួយ​កំនត់​នៅ​លើ​ចន្លោះ​អង្កត់​មួយ។

សំរាយបញ្ជាក់

យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់រូបមន្តនេះនៅចន្លោះ $\ [n,n+1]$ ដែល $n\in \mathbb {Z}$ ។

គេ​មាន​អនុគមន៍ $\ g$ មួយ​ជាប់​និង​មាន​ដេរីវេ​លើ $\ [n,n+1]$ ។ ដោយ​ប្រើ​លក្ខណៈ​​ពហុធាប៊ែរនូយី : $\forall k\in \mathbb {N} B_{k+1}'=\left(k+1\right)B_{k}$

ដោយប្រើ​អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេបាន $\int _{n}^{n+1}g\left(t\right)B_{k}\left(t-n\right)dt=\left[{\frac {g\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)}{k+1}}\right]_{n}^{n+1}-{\frac {1}{k+1}}\int _{n}^{n+1}g'\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)dt$

ដោយដឹងថាចំពោះ $k\geq 2$ គេបាន $B_{k}\left(1\right)=B_{k}\left(0\right)=b_{k}$ គេទាញបាន:

$\int _{n}^{n+1}g\left(t\right)B_{k}\left(t-n\right)dt={\frac {b_{k+1}}{k+1}}\left(g\left(n+1\right)-g\left(n\right)\right)-{\frac {1}{k+1}}\int _{n}^{n+1}g'\left(t\right)B_{k+1}\left(t-n\right)dt$

តាមទំនាក់ទំនងរវាងតួតគ្នាលើ k ពី $\ 0$ ទៅ $\ 2p$ ដោយយក$\ g=f^{(2p)}$ គេទាញបាន:

$\int _{n}^{n+1}f\left(t\right)dt={\frac {f\left(n\right)+f\left(n+1\right)}{2}}+\sum _{k=2}^{2p}{\frac {\left(-1\right)^{k-1}b_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}\left(n+1\right)-f^{(k-1)}\left(n\right)\right)+{\frac {1}{(2p)!}}\int _{n}^{n+1}f^{(2p)}\left(t\right)B_{2p}\left(t-n\right)dt$

ចុងបញ្ជប់តាមលក្ខណៈ : $\forall k\geq 1,b_{2k+1}=0$ គេទាញបាន :

$\int _{n}^{n+1}f\left(t\right)dt={\frac {f\left(n\right)+f\left(n+1\right)}{2}}+\sum _{k=2}^{\lfloor {\frac {p}{2}}\rfloor }{\frac {b_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}\left(n+1\right)-f^{(2k-1)}\left(n\right)\right)+{\frac {1}{(2p)!}}\int _{n}^{n+1}f^{(2p)}\left(t\right)B_{2p}\left(t-n\right)dt$