បំលែងឡាប្លាស

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា បំលែងឡាប្លាស (Laplace transform) ជាបំលែងអាំងតេក្រាលដ៏ល្បីល្បាញមួយក្នុងចំនោមបំលែងជាច្រើន ដែលត្រួវបានគេប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់​ជាទូទៅដើម្បីធ្វើអោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា​ទៅជាសមីការពិជគណិត​ដែលងាយៗ​ដើម្បីសំរួល​ក្នុងដោះស្រាយ។ បំលែងឡាប្លាសត្រូវបានគេប្រើក្នុងការអនវត្តន៍សំខាន់ៗជាច្រើនក្នុង​គណិតវិទ្យា អុបទិក វិស្វកម្មអគិ្គសនី control engineering , signal processing និងួទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ក្នងគណិតវិទ្យា ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង សមីការអាំងតេក្រាល។

ប្រវត្តិកែប្រែ

 
រូបភាព​លោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស​ក្នុងឆ្នាំ១៨៤២

បំលែងឡាប្លាសត្រូវដាក់ឈ្មោះដោយផ្តល់កិត្តិយល់ដល់គណិតវិទូ និង តារាវិទូជនជាតិបារាំងគឺលោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស (Pierre-Simon Laplace) ដែលបានប្រើប្រាស់​បំលែងនេះក្នុងកិច្ចការ​របស់គាត់ចំពោះទ្រឹស្តីបទប្រូបាប


ពីឆ្នាំ១៧៤៤ លេអុណាដ អឺលែរ (Leonhard Euler) បានធ្វើការសង្កេតទៅលើអាំងតេក្រាលដែលមានទំរង់៖

  និង  

និយមន័យកែប្រែ

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ f(t) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត t ≥ 0 គឺជាអនុគមន៍ F(s) កំនត់ដោយ៖

 

ដែល   ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលឡាប្លាស

រូបមន្តគ្រឹះកែប្រែ

អនុគមន៍ដើម f(t) បំលែងឡាប្លាស F(s)
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

លក្ខណៈនិងទ្រឹស្តីបទកែប្រែ

គេមានអនុគមន៍ f(t) , g(t) និងបំលែងឡាប្លាសរបស់វារៀងគ្នា F(s) ,G(s):

 

គេបានតារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាសដូចខាងក្រោម

តារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាស
អនុគមន៍ បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ សំគាល់​​​​​​​
លីនែអ៊ែរ     អាចទទួលបានដោយប្រើក្បូនគោលនៃអាំងតេក្រាល
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់    
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់     ទំរង់ទូទៅ
ដេរីវេ     ទទួលបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
ដេរីវេទី២    
ដេរីវេទូទៅ    
អាំងតេក្រាលប្រេកង់    
អាំងតេក្រាល       ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ (Heaviside step function)។
Scaling    
   
      ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ
   
អនុគមន៍ខួប       ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T ដែល 
  • ទ្រឹស្តីបទតំលៃដើម:
 
  • ទ្រឹស្តីបទតំលៃចុងបំផុត:
 ,ប្រសិនបើគ្រប់ប៉ូលនៃ   គឺស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដៃខាងឆ្វេង។

លក្ខណៈលីនេអ៊ែរកែប្រែ

 

ដេរីវេកែប្រែ

 
 
 
 
 

រូបមន្តទី៥អាចត្រូវបានបង្ហាញលក្ខណៈ

ចេញពីនិយមន័យនៃ  
និង : 
 

ដោយការគណនាអាំងតេក្រាល

 
ដែលជាបំលែងនៃ   ដូច្នេះ  
ដូច្នេះ : 

អាំងតេក្រាលកែប្រែ

 
 

តំលៃចុងក្រោយកែប្រែ

 

តំលែដើមកែប្រែ

 

Convolutionកែប្រែ

 

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប Tកែប្រែ

 


  • គេអាចបង្ហាញរូបមន្តនៃលក្ខណៈដូចតទៅ៖
 
 
 

គេផ្តុំតួរនីមួយៗ:

 

ដូចនេះ  

តារាងរូបមន្តសង្ខេបបំលែងឡាប្លាសកែប្រែ

តារាងខាងក្រោមផ្តល់នូវរូបមន្តបំលែងឡាប្លាសទូទៅនៃអថេរមួយ។ ចំពោះនិយមន័យនិងសេចក្តីពន្យល់សូមមើលសំគាល់ផ្នែកខាងចុងនៃតារាង

  • បំលែងឡាប្លាសនៃផលបូកគឺជាផលបូកនៃបំលែងឡាប្លាសនៃតួរនិមួយៗ។
 
  • បំលែងឡាប្លាសច្រើនដងនៃអនុគមន៍មួយគឺ​មានបំលែងឡាប្លាសជាចំនួនច្រើនដងនៃអនុគមន៍នោះ។
 

បំលែងឡាប្លាសតែឯងគឺពិតជាត្រឹមត្រូវនៅពែល t ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ដែលគ្រប់អនុគមន៍ដើមក្នុងតារាងគឺជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយជាច្រើន u(t) ។

ID ឈ្មោះអនុគមន៍ អនុគមន៍ដើម
 
បំលែងឡាប្លាស
 
causal systems
1 ideal delay    
1a unit impulse      
2 delayed nth power
with frequency shift
     
2a ស្វ័យគុណទី n
( ចំពោះចំនួនគត់ n )
     
2a.1 ស្វ័យគុណទី q
(ចំនួនពិត q )
     
2a.2 អនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ      
2b delayed unit step      
2c ramp      
2d nth power with frequency shift      
2d.1 exponential decay      
3 exponential approach      
4 ស៊ីនុស      
5 កូស៊ីនុស      
6 ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក      
7 កូស៊ីនុសអ៊ីពែលីក      
8 Exponentially-decaying
sine wave
     
9 Exponentially-decaying
cosine wave
     
10 រឺសទីn      
11 លោការីតធម្មជាតិ      
12 Bessel function
of the first kind,
of order n
     
 
13 Modified Bessel function
of the first kind,
of order n
     
14 Bessel function
of the second kind,
of order 0
     
15 Modified Bessel function
of the second kind,
of order 0
     
16 Error function      
សំគាល់:

  •   តំណាងអោយអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ
  •   តំណាងអោយ Dirac delta function
  •   តំណាងអោយហ្គាំម៉ា
  •   ជាថេរអឺលែរម៉ាសឆេរ៉ូនី

  •   ជាចំនួនពិតតំណាងអោយពេល (time)
  •   ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច angular frequency និង  ជាផ្នែកពិត.
  •  ,  ,  , និង   ចំនួនពិត
  •   ជាចំនួនគត់