ចំនួនកុំផ្លិច៖ ភាពខុសគ្នារវាងកំណែនានា
ខ្លឹមសារដែលបានលុបចោល ខ្លឹមសារដែលបានសរសេរបន្ថែម
ត តំរូវស្ង់ដាកូដវិគី |
No edit summary |
||
បន្ទាត់ទី៧៣៖
<math>(i+i)^{50} = \sqrt{2}^{50}[cos(50 \cdot \frac{\pi}{4}) + isin(50 \cdot \frac{\pi}{4})] = 2^{25}(cos\frac{25\pi}{2} + isin\frac{25\pi}{2}) = 2^{25}[cos(12\pi+\frac{\pi}{2}) + isin(12\pi+\frac{\pi}{2})] = 2^{25}(cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2}) \!</math><br><br>
ដូចនេះ <math>(1+i)^{50}= 2^{25}i = 33554432i\!</math>
==រឹសទី <math>n\!</math> នៃចំនួនកុំផ្លិច==
បើចំនួនកុំផ្លិចមេនសូន្យ Z មានរឹសទី n គឺ W គេបាន <math>W^n = Z\!</math>។ ទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច Z និង W គឺ <math> Z = r(cos\theta+isin\theta)\!</math> និង <math> W = s(cos\alpha+isin\alpha)\!</math><br><br>
គេបាន <math>W^n = s^n(cosn\alpha+isinn\alpha)\!</math><br><br>
ដោយ <math>W^n = Z\!</math> គេបាន <math> s^n(cosn\alpha+isinn\alpha) = r(cos\theta+isin\theta)\!</math><br><br>
ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា ម៉ូឌុលរបស់វាក៏ស្មើគ្នាដែរ។
ដូចនេះ <math>s^n = r\!</math> ។ ដោយ <math> s>0\!</math> និង <math>r>0\!</math> នាំអោយ <math>s = \sqrt[n]{r}\!</math> ។
<math>cosn\alpha + isinn\alpha = cos\theta + isin\theta\!</math><br><br>
គេបាន <math>cosn\alpha = cos\theta\!</math> នាំអោយ <math>n\alpha = \theta + 2k\pi \ ; \ \alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n} \ ; \ k \in \mathbb{Z}\!</math>។<br><br>
ជំនួស <math>\alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n}\!</math> និង <math>s = \sqrt[n]{r}\!</math> ក្នុងទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច <math>W</math> គេបាន <math>w = \sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + isin(\frac{\theta + 2k\pi}{n})]\!</math> ។<br><br>
បើគេជំនួស <math>k=0;1;2;...;n-1</math> គេបាន n រឹសទី n ផ្សេងៗគ្នានៃ Z ។
<div style="font-size: 150%; color: Blue;">
ទ្រឹស្តីបទ :</div>
បើ <math>Z = r(cos\theta + isin\theta)\!</math> ជាចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ ហើយ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាននោះ Z មានរឹសទី n គឺ :
<math>w_k = \sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + isin(\frac{\theta + 2k\pi}{n})]\!</math> បើ k=0;1;2;...;n-1 នោះ Z មានរឹសទី n គឺ <math>w_0;w_1;w_2;...;w_{n-1}\!</math> ។<br><br>
ឧទាហរណ៍ : គណនារឹសទី 6 នៃ -1
តាង Z = -1 + 0i គេបាន <math>r = sqrt{1} = 1</math> ។<br><br>
<math>cos\theta = \frac{a}{r} = -1 </math> និង <math>sin\theta = \frac{b}{r} = 0</math> នាំអោយ <math>\theta = \pi</math>។ <br><br>
<math>Z = -1 + 0i = (cos\pi + isin\pi)\!</math><br><br>
n = 6 យើងគណនារឹសទី 6 នៃ Z = -1 + 0i ។<br><br>
<math>w_k = cos(\frac{\pi + 2k\pi}{6}) + isin(\frac{\pi + 2k\pi}{6})\!</math><br><br>
<math>w_k = cos(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}) + isin(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3})\!</math> បើ k=0;1;2;3;4;5 គេបាន
k=0 នាំអោយ <math>w_0 = cos\frac{\pi}{6} + isin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\!</math><br><br>
k=1 នាំអោយ <math>w_1 = cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2} = i</math><br><br>
k=2 នាំអោយ <math>w_2 = cos\frac{5\pi}{6} + isin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i</math><br><br>
k=3 នាំអោយ <math>w_3 = cos\frac{7\pi}{6} + isin\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i</math><br><br>
k=4 នាំអោយ <math>w_4 = cos\frac{3\pi}{2} + isin\frac{3\pi}{2} = -i</math><br><br>
k=5 នាំអោយ <math>w_5 = cos\frac{11\pi}{6} + isin\frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2}i</math>
| |||