ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស

ក្នុងធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស(Apollonius' theorem) គឺជាទ្រឹស្តីបទមួយដែលទាក់ទងទៅនឹងធាតុខ្លះៗនៃត្រីកោណមួយ ។ គេមាន ត្រីកោណ ABC បើ D ជាចំនុចមួយនៅលើ BC ដែលវាចែក BC ជាប្រភាគ n : m (ឬ $m\cdot BD=n\cdot DC$) នោះគេបាន

ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស

m=n(=1) បៃតង + ខៀវ = ក្រហម

$mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}\,$

ករណីពិសេស

• ពេល $m=n(=1)\,$ នោះ AD ជាមេដ្យានដែលចោលលើ BC នោះទ្រឹស្តីបទក្លាយទៅជាទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន៖

$AB^{2}+AC^{2}=BD^{2}+DC^{2}+2AD^{2}\,$

• ពេល AB = AC នោះ ត្រីកោណជាត្រីកោណសមបាត ។ នោះទ្រឹស្តីបទក្លាយទៅជា

$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}(=AC^{2})\,$

ចំពោះ ត្រីកោណ$ABC\,$ បើ$AD\,$ ជាមេដ្យាន នោះ $AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2})\,\!$

ដើម្បីបង្ហាញចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ តាង$AX\,$ ជាចំណោលកែងទៅនឹង$BC\,$ ពីចំនុច $A\,$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទពីតាករ ចំពោះត្រីកោណកែង$ABX\,$ និង $ACX\,$ គេបាន

$AB^{2}=AX^{2}+BX^{2}\,$

$=AX^{2}+(BD+DX)^{2}\,$

$=AX^{2}+BD^{2}+DX^{2}+2.BD.DX\qquad (i)$

និង

$AC^{2}=AX^{2}+CX^{2}\,$

$=AX^{2}+(CD-DX)^{2}\,$

$=AX^{2}+CD^{2}+DX^{2}-2.CD.DX\qquad (ii)$

ដោយបូកបញ្ចូលសមីការ(i) និង (ii)

$AB^{2}+AC^{2}\,\!$

$=AX^{2}+BD^{2}+DX^{2}+2.BD.DX+AX^{2}+CD^{2}+DX^{2}-2.CD.DX\,\!$

$=2(AX^{2}+DX^{2}+BD^{2})\,$

ដោយ $BD=DC,\,$

$2.BD.DX=2.DC.DX\,\!$

$=2(AX^{2}+DX^{2})+2BD^{2}\,\!$

$=2(AD^{2}+BD^{2})\,\!$

ដោយ $AXD\,$ គឺជាមុំកែង

ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញ ។