ប៉ារ៉ាបូល

អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិក្រិចបានរកឃើញជំពូកកោនិចនៅចន្លោះ៣០០ឆ្នាំ និង ៦០០ឆ្នាំមុនគ.ស ហើយក៏បានរកឃើញមុនគេបង្អស់ពីលក្ខណៈធរណីមាត្ររបស់កោនិច។​ នៅដើមសតវត្សទី១៧ ការអនុវត្តកោនិចបានចាប់ផ្តើមឡើងលើសកលលោក ហើយមានតួនាទីសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍផ្នែកគណនា។ ផ្នែកមូលដ្ឋានគ្រឹះរបស់កោនិចគឺរង្វង់ ប៉ារ៉ាបូល អេលីប និង អ៊ីពែរបូល។

ប៉ារ៉ាបូល

និយមន័យ

ប៉ារ៉ាបូលគឺជាសំនុំចំនុច $M(x,y)\!$ ក្នុងប្លង់ដែលនៅស្មើចំងាយពីចំនុចនឹងមួយ និង​ពីរបន្ទាត់នឹងមួយ។

• ​ ចំនុចនឹងមួយនោះហៅថាកំណុំនៃប៉ារ៉ាបូល។
• បន្ទាត់នឹងនោះហៅថាបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល។

ចំនុចកណ្តាលរវាងកំនុំ និងចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស និង អ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូល ហៅថាកំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល។​ បន្ទាត់ដែលកាត់តាមកំណុំ និង កំពូលហៅថា អ័ក្ស​​នៃប៉ារ៉ាបូល ឬ អ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូល។

តាមនិយមន័យប៉ារ៉ាបូល យើងអាចទាញទ្រឹស្តីបទសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស $(x'0x)\!$ ឬ អ័ក្ស $(y'0y)\!$​ ក្នុងតំរុយអរតូណរមេ។

ទ្រឹស្តីបទ

ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $(h;k)\!$ និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $y=k-p\!$ មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា $(x-h)^{2}=4p(y-k)\!$ ។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ។

ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $(h;k)\!$ និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $x=h-p\!$ មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា $(y-k)^{2}=4p(x-h)\!$។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក។

កំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សឆ្លុះមានចំងាយ P ឯកតាពីកំពូល។ p ហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត។

សម្រាយបញ្ជាក់

យើងស្រាយបញ្ជាក់តែករណីបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស$(x'0x)\!$ ហើយកំណុំស្ថិតនៅលើកំពូលមានន័យថា $p>0\!$ ។

បើ​ $(x;y)\!$ ជាចំនុចនៅលើប៉ារ៉ាបូល​ នោះ ចំនុច $(x;y)\!$ ស្មើចំងាយពីកំនុំ $(h;k+p)\!$ និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស $y=k-p\,$​ ។

តាមរូបមន្ត ចំងាយរវាងពីរចំនុច​ និង ចម្ងាយរវាងចំណុច និង បន្ទាត់។

គេបាន

${\sqrt {(x-h)^{2}+[y-(k+p)]^{2}}}\,=\,|y-(k-p)|\,$
$(x-h)^{2}+[y-(k+p)]^{2}\,=\,[y-(k-p)]^{2}\,$
$(x-h)^{2}+y^{2}-2y(k+p)+(k+p)^{2}\,=\,y^{2}-2y(k-p)+(k-p)^{2}\,$
$(x-h)^{2}-2yk-2py+k^{2}-2pk+p^{2}\,=\,-2yk+2py+k^{2}+2pk+p^{2}\,$
$(x-h)^{2}-2py+2pk\,=\,2py-2pk\,$

$(x-h)^{2}\,=\,4py-4pk\,$ ។ ដូច្នេះ $(x-h)^{2}\,=\,4p(y-k)\,$ ។

ការរកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល

ឧទាហរណ៍១ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (2;1) និង​ កំនុំ(2;4) ។

• ចំលើយ ដោយអាប់ស៊ីសកំពូល និង​ កំនុំស្មើគ្នា អរដោនេខុសគ្នា ហើយអ័ក្សឆ្លុះកាត់តាមកំពូល និង កំនុំ នោះអ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូលជាអ័ក្សឈរ។

គេបានសមីការ $(x-h)^{2}=4p(y-k)\,$ ។ ដែល $h=2\,;\,k=1\,;\,p=4-1=3\,$ ។

ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ $(x-2)^{2}=12(y-1)\,$ ។

ឧទាហរណ៍២ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (-2;1) និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស$x=1\,$ ។

• ចំលើយ ដោយ $x=1\,$ នោះបន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ឈរ។ គេបានសមីការ $(y-k)^{2}=4p(x-h)\,$ (1)

ដែល $h=-2;k=1\,$

ដោយ $x=h-p\,$ នាំអោយ $p=h-x=-2-1=-3\,$ ។ ជំនួស $h=-2\,;\,k=1\,$ និង $p=-3\,$

ក្នុងសមីការ (1) គេបាន $(y-1)^{2}=-12(x+2)\,$ ។

ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ $(y-1)^{2}=-12(x+2)\,$ ។

ទំរង់ទូទៅរបស់សមីការប៉ារ៉ាបូល

ជាទូទៅ

សមីការទូទៅរបស់ប៉ារ៉ាបូលមានរាង $Ax^{2}+Cx+Dy+E=0\,$ រឺ $By^{2}+Cx+Dy+E=0\,$ ។

ឧទាហរណ៍១ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល $y^{2}+8y-8x=0\,$ ជាទំរង់ស្តង់ដា។

គេមាន $y^{2}+8y-8x=0\,$

$y^{2}+8y=8x\,$

$y^{2}+8y+16=8x+16\,$ ។

ដូចនេះ $(y+4)^{2}=8(x+2)\,$ ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។

ឧទាហរណ៍២ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល $x^{2}-2x+8y+9=0\,$ ជាទំរង់ស្តង់ដា ។

គេមាន $x^{2}-2x+8y+9=0\,$

$x^{2}-2x=-8y-9\,$

$x^{2}-2x+1=-8y-9+1\,$ ។

ដូចនេះ $(x-1)^{2}=-8(y+1)\,$ ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។

ការរកកំនុំ និង កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល

ឧទាហរណ៍១ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល​ $y=-{\frac {1}{2}}x^{2}-x+{\frac {1}{2}}\,$ ។

• ចំលើយ

គុណអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង 2 គេបាន

$2y=-x^{2}-2x+1\,$
$2y=1-(x^{2}+2x)\,$
$2y=1-(x^{2}+2x+1-1)\,$
$2y=1-[(x+1)^{2}-1]\,$
$2y=2-(x+1)^{2}\,$
$(x+1)^{2}=2-2y\,$
$(x+1)^{2}=-2(y-1)\,$ ។

ប្រៀបធៀបសមីការ $(x+1)^{2}=-2(y-1)\,$ និងសមីការ $(x-h)^{2}=4p(y-k)\,$ គេបាន $h=-1\,;\,k=1\,$ ។
ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h;k)=(-1;1)\,$​ ។

ដោយ $4p=-2\,$ នាំអោយ $p=-{\frac {1}{2}}\,$ ។

$p=-{\frac {1}{2}}\,;\,h=-1\,;\,k=1\,$ នាំអោយកំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h;k+p)=\left(-1;1-{\frac {1}{2}}\right)=\left(-1;{\frac {1}{2}}\right)\,$ ។

ឧទាហរណ៍២ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល​ $y^{2}+y-2x+{\frac {41}{4}}=0\,$ ។

• ចំលើយ

គេមាន $y^{2}+y-2x+{\frac {41}{4}}=0\,$
$y^{2}+y=2x-{\frac {41}{4}}\,$
$y^{2}+y+{\frac {1}{4}}=2x-{\frac {41}{4}}+{\frac {1}{4}}\,$
$\left(y+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2x-{\frac {40}{4}}=2x-10\,$
$\left(y+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2(x-5)\,$

ប្រៀបធៀបសមីការ $\left(y+{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2(x-5)\,$ និងទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល $(y-k)^{2}=4p(x-h)\,$ ។

គេបាន $k=-{\frac {1}{2}}\,;\,h=5\,$ ។

ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h,k)=\left(5-{\frac {1}{2}}\right)\,$ ។

ដោយ $4p=2\,$ នាំអោយ $p={\frac {1}{2}}\,$ ។​ ដូចនេះ កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h+p,k)=\left({\frac {11}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)\,$ ។