រូបមន្តដឺម័រ (De Moivre's formula) ត្រូវបានគេហៅដោយយកតាមឈ្មោះរបស់លោក អាប្រាហាម ដឺ ម័រ (Abraham de Moivre) ដែលជាជនជាតិបារាំង ដោយបានចែងថាចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច (និងជាពិសេសចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត) x និង គ្រប់ចំនួនគត់ n គេបាន
( cos x + i sin x ) n = cos ( n x ) + i sin ( n x ) {\displaystyle \color {blue}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)\,} រូបមន្តនេះមានសារៈសំខាន់ពីព្រោះវាភ្ជាប់ចំនួនកុំផ្លិច (i តំណាងអោយឯកតានិម្មិត) និង ត្រីកោណមាត្រ ។ កន្សោម cos x + i sin x {\displaystyle \cos x+i\sin x\,} គឺជួនការត្រូវបានគេសរសេរកាត់ជា c i s x {\displaystyle cisx\,} ។
ការទាញយករូបមន្តដឺម័រ
កែប្រែ
រូមមន្តដឺម័រអាចត្រូវបានទាញចេញដោយងាយដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ
e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,} និងតាមទ្រឹស្តីបទអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
( e i x ) n = e i n x {\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}\,} ។តាមរូបមន្តអយល័រ គេបាន
e i ( n x ) = cos ( n x ) + i sin ( n x ) {\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,} ។ សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្ត
កែប្រែ
គេមាន x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
យើងសិក្សា៣ករណី
(១). ករណី n > 0 {\displaystyle n>0\,} យើងបកស្រាយប្រើវិចារកំនើន។ នៅពេល n = 1 {\displaystyle n=1\,} លទ្ធផលគឺពិតជាត្រឹមត្រូវ។ តាមសម្មតិកម្ម យើងសន្មតថាលទ្ធផលគឺពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន k {\displaystyle k\,} គឺថា
( cos x + i sin x ) k = cos ( k x ) + i sin ( k x ) {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\,} យើងបាន
ចំពោះ n = 1 ; ⇒ ( cos x + i sin x ) 1 = cos ( 1 ⋅ x ) + i sin ( 1 ⋅ x ) {\displaystyle n=1;\quad \Rightarrow (\cos x+i\sin x)^{1}=\cos(1\cdot x)+i\sin(1\cdot x)\qquad \,} ពិត
ចំពោះ n = 2 ; {\displaystyle n=2\,;} ⇒ ( cos x + i sin x ) 2 = cos 2 x − sin 2 x + 2 i cos x sin x = cos ( 2 ⋅ x ) + i sin ( 2 ⋅ x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow (\cos x+i\sin x)^{2}&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x+2i\cos x\sin x\\&=\cos(2\cdot x)+i\sin(2\cdot x)\qquad \\\end{aligned}}} សមីការផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ n = 2 ដែរ ឧបមាថាវាពិតដល់ n = k + 1 {\displaystyle n=k+1\;} គេបាន
( cos x + i sin x ) k + 1 = ( cos x + i sin x ) k ( cos x + i sin x ) = [ cos ( k x ) + i sin ( k x ) ] ( cos x + i sin x ) = cos ( k x ) cos x − sin ( k x ) sin x + i [ cos ( k x ) sin x + sin ( k x ) cos x ] = cos [ ( k + 1 ) x ] + i sin [ ( k + 1 ) x ] {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad \\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad \end{alignedat}}} យើងសន្និដ្ឋានថាលទ្ធផលពិតចំពោះ n = k + 1 {\displaystyle n=k+1\,} នៅពេលដែល n = k {\displaystyle n=k\,} ។ តាមគោលការណ៍វិចារកំនើនគណិតវិទ្យា លទ្ធផលពិតចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1\,}
(២) . ករណី n = 0 {\displaystyle n=0\,} រូបមន្តពិតព្រោះ cos ( 0 x ) + i sin ( 0 x ) = 1 + i 0 = 1 {\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1\,} , គេអាចសន្មត z 0 = 1 {\displaystyle z^{0}=1} ។
(៣) . ករណី n < 0 {\displaystyle n<0\,} យើងសន្មតមានចំនួនពិតវិជ្ជមាន m {\displaystyle m\,} ដែល n = − m {\displaystyle n=-m\,} ។ ដូចនេះ
( cos x + i sin x ) n = ( cos x + i sin x ) − m = 1 ( cos x + i sin x ) m = 1 ( cos m x + i sin m x ) = cos ( m x ) − i sin ( m x ) = cos ( − m x ) + i sin ( − m x ) = cos ( n x ) + i sin ( n x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)\end{aligned}}} ដូចនេះរូបមន្តពិតចំពោះគ្រប់តំលៃជាចំនួនគត់នៃ n ។
រូបមន្តនេះអាចត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីរករឹសទី n នៃចំនួនកុំផ្លិច ។ ប្រសិនបើ z ជាចំនួនកុំផ្លិច សរសេរក្នុងទំរង់ប៉ូលែរជា
z = r ( cos x + i sin x ) {\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)\,} គេបាន
z 1 n = [ r ( cos x + i sin x ) ] 1 n = r 1 n [ cos ( x + 2 k π n ) + i sin ( x + 2 k π n ) ] {\displaystyle z^{{}^{\frac {1}{n}}}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{{}^{\frac {1}{n}}}=r^{{}^{\frac {1}{n}}}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]} ដែល k ជាចំនួនគត់ ។ ដើម្បីទទួល n រឹសផ្សេងៗគ្នានៃ z ចាំបាច់ត្រូវការអោយតំលៃនៃ k ពី 0 ដល់ n-1 ។