រូបមន្តអយល័រ

រូបមន្ត​អយល័រ​ (Euler's formula) យកឈ្មោះតាមលោក លេអុនហាដ អយល័រ (Leonhard Euler) គឺជា​រូបមន្ត​គណិតវិទ្យា​ក្នុង​ការ​គណនា​​កុំផ្លិចដែលបង្ហាញ​ទំនាក់ទំនង​យ៉ាង​ជិតស្និត​រវាង​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​កុំផ្លិច។

រូបមន្តអយល័រ

រូបមន្តអយល័រពោលថា​ចំពោះគ្រប់​ចំនួនពិត គេបាន

ដែល

រូបមន្ត​អយល័រ​នៅតែពិតបើទោះបីជា ជា​ចំនួនកុំផ្លិច​ក៏ដោយ​។

ប្រវត្តិកែប្រែ

រូបមន្តអយល័រ​ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់​ដំបូង​ដោយ រ៉ូចឺ កូត្ស Roger Cotes ក្នុងឆ្នាំ ១៧១៤ ជារាង

 

(ដែល ln តំណាងអោយ​លោការីតនេពែ (ឬហៅម្យ៉ាងទៀតថា​លោការីតធម្មជាតិ) មានន័យថាជា​​លោការីត log ដែលមានគោល e)

លោក​អយល័រ​​ជាអ្នកបោះពុម្ព​រូបមន្ត​ជា​រាង​បច្ចប្បន្ន​នេះ​នៅ​ឆ្នាំ​១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះ​សំរាប់សំរាយបញ្ជាក់​របស់​គាត់​ចំពោះ​ស៊េរីអនន្ត​ពីរ​ស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរ​មិន​បាន​បង្ហាញ​តំណាងធរណីមាត្រ​នៃ​រូបមន្តទេៈ តំណាង​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​ជា​ចំនុច​នៅ​ក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច​បានលេចឡើង​នៅ​៥០ឆ្នាំ​ក្រោយ​មក។​ លោក អយល័រ​បាន​ចាត់ទុក​វា​ជាធម្មតា​ដើម្បី​ណែនាំ​ទៅ​កាន់​សិស្ស​របស់​គាត់​អំពី​ចំនួនកុំផ្លិច​​មាន​ភាពស្រួល​ច្រើនជាង​អ្វី​ដែល​ពួកយើង​ធ្វើ​សព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុង​សៀវភៅពិជគណិតថ្នាក់ដំបូងរបស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់​បាន​ណែនាំ​អំពី​ចំនួន​ទាំងនេះ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ម្តង និង​បាន​ប្រើប្រាស់​​ពួកវា​តាម​រយៈ​វិធីសាស្រ្ត​ធម្មតា។

ការអនុវត្តក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិចកែប្រែ

 
  គូសជា​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

រូបមន្ត​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​បកស្រាយ​ដោយ​និយាយថា អនុគមន៍   គូសជា​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិចជា   រ៉ាដ្យង់​តាមរយះចំនួនពិត ។ ទីនេះ   គឺជា​មុំ​ដែល​បន្ទាត់​មួយ​ភ្ជាប់​គល់​តំរុយ​ជា​មួយ​ចំនុច​មួយ​នៅ​លើ​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ​បង្កើត​ជាមួយ​អ័ក្សពិត​ផ្នែក​វិជ្ជមាន​តាម​ទិសដៅ​ដូច​ទ្រនិចនាឡិកា​និង​គិតជា​រ៉ាដ្យង់​។

សំរាយបញ្ជាក់​ដើម​គឺ​ពឹងផ្អែក​ទៅ​លើ​ការពន្លាត​ជា​​ស៊េរីតេល័រ​នៃ​អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល   (ដែល   ជា​ចំនួនកុំផ្លិច​) និង​ការពន្លាតជា​ស៊េរីតេល័រ​​នៃ​អនុគមន៍ស៊ីនុស   និង កូស៊ីនុស   ចំពោះ​ចំនួនពិត   ។ តាម​ពិត​សំរាយបញ្ជាក់​ដូចគ្នា​បង្ហាញ​ថា​​រូបមន្តអយល័រ​ពិតផងដែរ​ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួនកុំផ្លិច  

ចំនុច​មួយ​នៅ​ក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិចអាច​​ត្រូវ​បាន​​បង្ហាញ​​ជា​​ចំនួនកុំផ្លិច​ដៅ​ក្នុង​ប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត​។ រូបមន្តអយល័រផ្តល់នូវតំលៃមធ្យមនៃគំលាតរវាងកូអរដោនេដេកាត និង កូអរដោនេប៉ូលែរ។ ទំរង់ប៉ូលែរបន្ថយចំនួណតួពីពីរទៅមួយ ដែលសំរួលក្នុងគណិតវិទ្យា​នៅពេលដែល​វា​ត្រូវបាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ក្នុង​ប្រមាណវិធីគុណ​ឬ​ស្វ័យគុណ​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​។ ចំនួនកុំផ្លិច   អាចសរសេរជា

 
 

ដែល

  គឺជា​ផ្នែកពិត
  គឺជា​ផ្នែកនិម្មិត
  គឺជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច
  ជា​ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់​នៃ​  
  គឺជា​អាគុយម៉ង់​នៃចំនួនកុំផ្លិច

  គឺជាអាគុយម៉ងនៃចំនួនកុំផ្លិច មានន័យថាគឺជាមុំរវាងអ័ក្សពិត   និង វ៉ិចទ័រ   វាស់ក្នុងទិសដៅស្របនឹង​ទ្រនិច​នាឡិកា​និង​​គិត​ជា​រ៉ាដ្យង់​។

យើង​អាច​ប្រើ​រូបមន្តអយល័រ​ដើម្បី​កំនត់​លោការីត​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​មួយ​។ យើង​ក៏​អាច​ប្រើ​និយមន័យ​នៃ​លោការីត​​ (ជាឆ្លាស់នៃ​អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល)​ ដែល

 

និង

 

ទំនាក់ទំនងទាំងពីរពិតចំពោះគ្រប់​ចំនួនកុំផ្លិច a និង b ។ ហេតុនេះយើងអាចសរសេរ

 

ចំពោះ   ។ បំលាក់​លោការីត​លើអង្គទាំងសងខាង យើងបាន

 

តាមពិតទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំនត់និយមន័យសំរាប់​កុំផ្លិចលោការីត​។ លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លចមួយគឺជា​អនុគមន៍មានពហុតំលៃ ពីព្រោះ   មានពហុតំលៃ (មានតំលៃច្រើន) ។

ចុងក្រោយ រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

 

ផ្ទៀងផ្ទាត់​ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួនគត់  រួមជាមួយ​រូបមន្តអយល័រ​ ដែលជាប់ទាក់ទងផងដែរនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និង រូបមន្តដឺម័រ​។

ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រកែប្រែ

 
 

សមីការ​ទាំងពីរ​ខាងលើ​អាច​ទាញបាន​ដោយ​ការបូក​ឬ​ដករូបមន្ត​អយល័រ៖

 
 

រូបមន្ត​ទាំងនេះ​ផ្តល់​និយមន័យ​អោយ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ​ចំពោះអាគុយម៉ង់   នៃចំនួនកុំផ្លិច

ឧទាហរណ៍៖ តាង   គេបាន

 
 

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចអាចសំរួលជាត្រីកោណមាត្រ ពីព្រោះវាងាយស្រួលសំរួលជាងស៊ីនុយសូអ៊ីត។​ គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍៖

 

គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីត​ជា​​ផ្នែកពិត​​នៃកន្សោម​ចំនួនកុំផ្លិច​ និង សរសេរជាកន្សោមនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ឧទាហរណ៍៖

 

រូបមន្ត​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​បង្កើត​របត់​ស៊ីនុយសូអ៊ីត​នៅចន្លោះ x រ៉ាដ្យង់​។

សំរាយបញ្ជាក់កែប្រែ

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយប្រើ​ស៊េរីតេល័រកែប្រែ

ការពន្លាត​ជា​ស៊េរី​នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​ដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ

 

និងអាចបន្លាយដល់​ចំនួនកុំផ្លិច x ។

ពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺ

 
 


ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម

 

ជាទូទៅចំពោះគ្រប់អិចស្ប៉ូសង់ជាចំនួនគត់ n គេបាន

 

ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z យើងកំនត់អនុគមន៍និមួយៗទាំងនេះដោយស៊េរីខាងលើ ជំនួសអថេរពិត x ដោយអថេរកុំផ្លិច z ។ យើងបាន

 

ដូចនេះគេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល៖

 

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​ដេរីវេកែប្រែ

គេមានអនុគមន៍   (អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ

 

ដោយយោងតាមរូបមន្តផលគុណ និង ផលចែកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍   គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍   កំនត់ដោយ

 

ហេតុនេះ   ជា​អនុគមន៍ថេរ​។ គេបាន

 
 

ដូចនេះ

 

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល​បែប​ងាយកែប្រែ

តាងអនុគមន៍ ​  

យើង​បាន

 
 
 
 
 
 
នោះ  
រក​តម្លៃ   ដោយ​យក  
នាំឲ្យ  
 

ដូចនេះ

 

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល​​បែប​ម្យ៉ាង​ទៀតកែប្រែ

គេមានអនុគមន៍   ដែល

 

ដោយចាត់ទុក   គឺជា​ចំនួនថេរ ដេរីវេទី១ និង ទី២ នៃ   គឺ

 
  (ពីព្រោះ  )

ចេញ​ពី​ទំនាក់ទំនង​នេះ​គេ​អាច​បង្កើត​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរ​លំដាប់២

 

 

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់២ មានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ​ចំនួន​ពីរ​ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់​វា៖

 
 

ទាំង   និង   គឺជាអនុគមន៍ពិត​ដែលដេរីវេ​ទី២​គឺ​មាន​សញ្ញាអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ខ្លួនវា។ បន្សំ​លីនេអ៊ែរ​នៃចំលើយ​ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែន​ក៏ជាចំលើយមួយផងដែរ។​ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ

 

ដែល A និង B គឺជាចំនួនថេរ​។ ប៉ុន្តែ​មិនមែន​គ្រប់​តំលៃ​ទាំងអស់​នៃ​ចំនួនថេរ​ទាំងពីរ​នេះ​សុទ្ធ​តែ​ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដើមដែលគេស្គាល់ចំពោះ   ទេ​៖

 
 

តំលៃនៃលក្ខខណ្ឌដើមជំនួសក្នុងចំលើយទូទៅ

 
 

គេបាន

 
 

និង​ចុងក្រោយ

 

គឺជា​រូបមន្តអយល័រ​។