អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ (Cubic function) ជាអនុគមន៍ដែលមានទំរង់

ក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣។ រឺសជាចំនុចប្រសព្វរវាងអ័ក្សអាប់ស៊ីស និងខ្សែកោង (y = 0)។ វាមានចំនុចរបត់២។

ដែល a ជាចំនួនមិនសូន្យ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២។ អាំងត្រេក្រាលនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍​ដឺក្រេ​ទី​បួន​

ប្រសិនបើអ្នកអោយ នោះអ្នកនឹងទទួលបានទំរង់សមីការដឺក្រេទី៣

ដែល

(ប្រសិនបើ a = 0 នោះគេវានឹងក្លាយទៅជាសមីការដឺក្រេទី២)

ឫសនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣កែប្រែ

លក្ខណៈនៃឫសកែប្រែ

យោង​តាម​ទ្រឹស្ដី​បទតម្លៃ​កណ្ដាល គ្រប់សមីការដឺក្រេទី៣ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត មានឫសយ៉ាងហោចណាស់មួយជាចំនួនពិត។ យើងអាចបែងចែកតាមរយៈឌីស្គ្រីមីណង់(Discriminant)

 

ករណីខាងក្រោមត្រូវការពិចារណា

  • បើ Δ > 0 នោះសមីការមានឫស៣ជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា។
  • បើ Δ < 0 នោះសមីការមានឫស១ជាចំនួនពិត និង មានឫស២ផ្សេងទៀតជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់។
  • បើ Δ = 0 នោះសមីការមានឫសដូចគ្នាយ៉ាងហោចណាស់២។

វិធីសាស្រ្តកាដាណូ(Cardano)កែប្រែ

ចំលើទាំងនេះអាចត្រូវគេរកតាម វិធីសាស្រ្ត Scipione del Ferro និង Tartaglia ដែលបោះពុម្ភនៅឆ្នាំ១៥៤៥។

យើងដាក់សមីការស្តង់ដាជារាង : 

ជំនួស ​ ហើយលុបបំបាត់តួដែលមានដឺក្រេទី២​ យើងបាន

    ហើយ  

តាម Thomas Harriot(១៥៦០-១៦២១): ដោយជំនួស   ហើយគុណអង្គទាំង២នឹង   រួចធ្វើការលុបបំបាត់ផ្នែកខ្លះ នោះ   ។ ការព៌ណនាខាងក្រោមគឺជាប្រភពដើមនៃCardano និង Tartaglia ដែលមាននៅក្នុងសៀវភៅរហូតដល់សព្វថ្ងៃ។

ឧបមាថា យើងអាចរកចំនួន   និង   ដែល

  ហើយ  

ចំលើយចំពោះសមីការគឺអោយដោយ

 

ដែលអាចត្រូវគេពិនិត្យតាមរយះ ជំនួសតំលៃនេះដោយត្រង់ចំពោះ   ក្នុង (2)​ ។

 

ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានដោះស្រាយ ដោយដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ v

 

ដោយជំនួស v ទៅក្នុងសមីការដំបូង ក្នុង(3)

 

ដោយប្តូរទីតាំងនៃ q ហើយគុណនឹង 27u3 នោះ

 

នេះជាសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ u3។ បើយើងដោះស្រាយសមីការនេះ គេឃើញថា

 
 

ចូរចាំថា មាន៦របៀបក្នុងការគណនា u ជាមួយ (4) ។ វាមានចំលើយ២ចំពោះឫសការេ( ) ហើយ ចំលើយជាចំនួនកុំផ្លិច៣ ចំពោះឫសគូប ។ គុណចំលើយគោលនឹង   ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សញ្ញានៃឫសការេ(បូក ឬ ដក) មិនប៉ះពាល់ដល់ចំលើយចុងក្រោយទេ។ ដំបូង បើ p = 0 នោះ ឫសមួយអាចត្រូវជ្រើសរើសឫសការេអវិជ្ជមាន ដែលនាំអោយ u មិនស្មើសូន្យ ឧទាហរណ៍​   ។ ទី២ បើ p = q = 0 នោះយើងមានឫសពិត៣ x = −a/3 ។

សង្ខេប ចំពោះសមីការដឺក្រេទី៣​

 

ចំលើយ ចំពោះx ផ្តល់អោយ

 

ដែល

 
 
 

បើទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះធម្មតានិងឥតខ្ចោះក៏ដោយ វាខុសចំពោះឫសពិត៣ ឧទាហរណ៍ ពេល : 

ចំពោះករណីនេះ ទ្រឹស្តីបទផ្សេងទៀតត្រូវគេយកមកប្រើ ។

តាមពិត វិធីសាស្រ្តនេះអាចប្រើបានចំពោះករណីដែល D < 0 ហើយគ្រប់ករណីផ្សេងទៀតទាំងអស់ បើយើងប្រើឫសគូប៣ នៃ u និង v​ ខាងលើ ទោះបីជា ចំនួនពិត ឬ កុំផ្លិច។ វាជាប្រវត្តិដ៏មានសារៈសំខាន់ព្រោះការរកចំលើយតាមរបៀបនេះ​ ធ្វើអោយគេទទួលយកចំនួនកុំផ្លិច ។ ប៉ុន្តែជាសំណាងអាក្រក់ អ្វីៗគឺសាំញ៉ាំបន្តិច។

យើងដឹងថា   

តែដោយ   និង   ត្រូវតែផ្ទៀងផ្ទាត់   ហើយ  

នោះគេអាចបង្ហាញថាបើ


 

ឬផ្ទុយទៅវិញ វាមិនមានបញ្ហាក្នុងការជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្តទេ។

ដោយសរសេរឫសទាំង៣នោះចេញគេបាន

 

ចំណាំ   យើងទទួលយកតំលៃដែលអាចតែ៣ប៉ុណ្ណោះសំរាប់ t ពីព្រោះការបូកផ្សំគ្នា៣នៃ u និង v អាចទៅរួចបើ  គឺត្រូវតែរក្សាសុពលភាពក្នុងនាមជា - ដូចនេះ

 

ហើយដោយ

 

តំលៃដែលអាច៣នៃ x គឺ

 

ហើយសមីការដឺក្រេទី៣ត្រូវគេដោះស្រាយ តាមរយះ   វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬ សូន្យ

បើ D វិជ្ជមាន នោះវាមានចំនួនពិតមួយ និងចំនូនកុំផ្លិចពីរជាឫស ។

បើ D អវិជ្ជមាន នោះវាមានឫស៣ជាចំនួនពិត។

បើ D = 0 នោះវាមាន ឫសមួយជាចំនួនពិត(ឫសដូចគ្នាទាំងបី) ឬ ឫសពីរជាចំនួនពិត(ឫសមួយ​ ឬ ឫសឌុប)។