ក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula) ជារូបមន្តសំរាប់រកក្រលាផ្ទៃ នៃចតុកោណ មួយចំនួន ដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុង និង មុំ មួយចំនួននៃចតុកោណនោះ។ ក្នុងទំរង់ទូទៅរបស់វា រូបមន្តនេះអាចរកក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ។
ទំរង់គ្រឹះនិងងាយចង់ចាំរបស់វាគឺថា រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា អាចអោយយើងកំនត់បាននូវក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ដែលជ្រុងមានរង្វាស់ជ្រុង a b c និង d ។ ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណនេះកំនត់ដោយៈ
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
{\displaystyle \color {RoyalBlue}S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}
ដែល p គឺជាកន្លះបរិមាត្រ នៃចតុកោណ កំនត់ដោយ
p
=
a
+
b
+
c
+
d
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}
រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តហេរុង ចំពោះក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ ។ នៅពេលដែល d = 0 គេបានរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាក្លាយជារូបមន្តហេរុង ។
ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ គឺអាចមានតំលៃអតិបរមាចំពោះចតុកោណមួយចំនួនដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងរបស់វា។
ចំពោះការ៉េ :
b
=
c
=
d
=
a
,
p
=
2
a
⇒
S
=
a
4
=
a
2
{\displaystyle b=c=d=a,\quad p=2a\qquad {\color {Blue}\Rightarrow }\quad S={\sqrt {a^{4}}}=a^{2}\,}
ចំពោះចតុកោណកែង :
a
=
b
=
L
,
c
=
d
=
l
,
p
=
(
L
+
l
)
⇒
S
=
L
2
⋅
l
2
=
L
⋅
l
{\displaystyle a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)\qquad {\color {Blue}\Rightarrow }\quad S={\sqrt {L^{2}\cdot l^{2}}}=L\cdot l\,}
កែប្រែ
ដ្យាក្រាមជាសំអាង ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ = ក្រលាផ្ទៃនៃ
△
A
D
B
{\displaystyle \triangle ADB}
△
B
D
C
{\displaystyle \triangle BDC}
=
1
2
a
b
sin
A
+
1
2
c
d
sin
C
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C}
ប៉ុន្តែដោយសារ
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន
∠
D
A
B
=
180
∘
−
∠
D
C
B
{\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB}
sin
A
=
sin
C
{\displaystyle \sin A=\sin C}
S
=
1
2
a
b
sin
A
+
1
2
c
d
sin
A
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin A}
S
2
=
1
4
sin
2
A
(
a
b
+
c
d
)
2
{\displaystyle S^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(ab+cd)^{2}}
4
S
2
=
(
1
−
cos
2
A
)
(
a
b
+
c
d
)
2
{\displaystyle 4S^{2}=(1-\cos ^{2}A)(ab+cd)^{2}\,}
4
S
2
=
(
a
b
+
c
d
)
2
−
c
o
s
2
A
(
a
b
+
c
d
)
2
{\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-cos^{2}A(ab+cd)^{2}\,}
ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស ចំពោះ
△
A
D
B
{\displaystyle \triangle ADB}
△
B
D
C
{\displaystyle \triangle BDC}
D
B
{\displaystyle DB\,}
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
A
=
c
2
+
d
2
−
2
c
d
cos
C
{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C\,}
ដោយជំនួស
cos
C
=
−
cos
A
{\displaystyle \cos C=-\cos A\,}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
2
cos
A
(
a
b
+
c
d
)
=
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
{\displaystyle 2\cos A(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\,}
ជំនួសវាក្នុងសមីការក្រលាផ្ទៃ យើងបាន
4
S
2
=
(
a
b
+
c
d
)
2
−
1
4
(
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
)
2
{\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}
16
S
2
=
4
(
a
b
+
c
d
)
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
)
2
{\displaystyle 16S^{2}=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\,}
តាមរូបមន្ត
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,}
(
2
(
a
b
+
c
d
)
+
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
)
(
2
(
a
b
+
c
d
)
−
a
2
−
b
2
+
c
2
+
d
2
)
{\displaystyle (2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\,}
=
(
(
a
+
b
)
2
−
(
c
−
d
)
2
)
(
(
c
+
d
)
2
−
(
a
−
b
)
2
)
{\displaystyle =((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})\,}
=
(
a
+
b
+
c
−
d
)
(
a
+
b
+
d
−
c
)
(
a
+
c
+
d
−
b
)
(
b
+
c
+
d
−
a
)
{\displaystyle =(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)\,}
តាង
p
=
a
+
b
+
c
+
d
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}
កន្លះបរិមាត្រ នៃចតុកោណ ABCD) យើងបាន
16
S
2
=
16
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
{\displaystyle 16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\,}
ដោយបំបាត់ការ៉េ ដោយបំពាក់រឹសការ៉េ យើងបានរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាដូចខាងក្រោម
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
{\displaystyle \color {magenta}S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}
កែប្រែ
ក្នុងករណីចតុកោណមិនចារឹក្នុងរង្វង់ទេ រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាអាចត្រូវបានបន្លាយដោយវាស់មុំឈមគ្នាពីរនៃចតុកោណ ៖
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
θ
{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}
ដែល
θ
{\displaystyle \theta \,}
θ
{\displaystyle \theta \,}
cos
(
180
∘
−
θ
)
=
−
cos
θ
{\displaystyle \cos(180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta \,}
cos
2
(
180
∘
−
θ
)
=
cos
2
θ
{\displaystyle \cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta \,}
រូបមន្តនេះត្រូវបានគេស្គាល់ជាទូទៅថាជារូបមន្តប្រេតស៍ឆ្នេឌើ (Bretschneider's formula) ដោយយោងតាមគេហទំព័រ_MathWorld រូបមន្តប្រេតស៍ឆ្នេឌឺ ត្រូវបានគេសរសេរជា
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
1
4
(
a
c
+
b
d
+
m
n
)
(
a
c
+
b
d
−
m
n
)
{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+mn)(ac+bd-mn)}}\,}
ដែល m និង n ជារង្វាស់អង្កត់ទ្រូង នៃចតុកោណ ។
វាជាលក្ខណៈនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ (និងទីបំផុតជាមុំចារឹកក្នុងរង្វង់) ដែលផលបូកមុំឈមនៃចតុកោណស្មើនឹង ១៨០° ។ ហេតុដូចនេះ ក្នុងករណីចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់
θ
=
90
∘
{\displaystyle \theta =90^{\circ }\,}
a
b
c
d
cos
2
θ
=
a
b
c
d
cos
2
(
90
∘
)
=
a
b
c
d
⋅
0
=
0
{\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0\,}
ផ្តល់នូវទំរង់គ្រឹះនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា។
