ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem) គឺជាទ្រឹស្តីបទធរណីមាត្រក្នុងប្លង់។

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា: ករណីទី១: បន្ទាត់​បី​ប្រសព្វ​គ្នា​ត្រង់​ចំនុច O ផ្នែក​ខាង​ក្នុង​ត្រីកោណ ABC

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា: ករណីទី២: បន្ទាត់​ទាំងបី​ប្រសព្វ​គ្នា​ត្រង់​ចំនុច O ផ្នែក​ខាង​ក្រៅ​​ត្រីកោណ ABC

ទ្រឹស្តីបទ

គេមានត្រីកោណ និងចំនុច D, E, និង F ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់រៀងគ្នា (BC), (CA), និង (AB) ។ ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាពោលថា បន្ទាត់ (AD), (BE) និង (CF) ប្រសព្វត្រង់ចំនុចតែមួយលុះត្រាតែ

$\color {magenta}{AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1$

វាក៏មានទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាផងដែរ គឺថា បន្ទាត់ (AD), (BE), (CF) ប្រសព្វត្រង់ចំនុចតែមួយលុះត្រាតែ

${\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\times {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}\times {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}=1$

ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដោយ​គណិតវិទូអ៊ីតាលី​ឈ្មោះ Giovanni Ceva ក្នុងឆ្នាំ ១៦៧៨ ប៉ុន្តែវាត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់អោយងាយស្រួលដោយ​អ្នកគណិតវិទ្យា​ជនជាតិអារ៉ាប់​ឈ្មោះ Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd ដែលជាព្រះមហាក្សត្រនៅសតវត្សទី១១ នៃ Zaragoza ។

រួមជាមួយនឹងរូបភាពនៅខាងស្តាំ ពាក្យមួយចំនួនត្រូវបានទាញចេញពីឈ្មោះឆិវ៉ា ដូចជា: បន្ទាត់ឆិវៀន (បន្ទាត់ (AD), (BE), (CF) ឆិវៀននឹង O), ត្រីកោណឆិវ៉ា (ត្រីកោណ DEF ជាត្រីកោណឆិវ៉ានៃ O) ជាដើម។

បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ

ឧបមាថាគេមានបន្ទាត់ (AD), (BE) និង (CF) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុច O ។ ដោយសារ $\triangle BOD\,$ និង $\triangle COD\,$ មានកំពស់ដូចគ្នា គេបាន

${\frac {S_{BOD}}{S_{COD}}}={\frac {BD}{DC}}$

ដូចគ្នាដែរ

${\frac {S_{BAD}}{S_{CAD}}}={\frac {BD}{DC}}$

គេបាន

${\frac {BD}{DC}}={\frac {S_{BAD}-S_{BOD}}{S_{CAD}-S_{COD}}}={\frac {S_{ABO}}{S_{CAO}}}$

ដូចគ្នាដែរ

${\frac {CE}{EA}}={\frac {S_{BCO}}{S_{ABO}}}$

និង

${\frac {AF}{FB}}={\frac {S_{CAO}}{S_{BCO}}}$

ដោយធ្វើប្រមាណវិធីគុណចំពោះសមីការទាំងបីខាងលើ គេបាន

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$

បំណាកស្រាយច្រាសមកវិញ

ឧបមាថាគេមានចំនុច D, E និង F ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការខាងលើ។ តាង (AD) និង (BE) ជាបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាត្រង់ O និងតាង $F'\,$ ជាចំនុចប្រសព្វនៃ (CO) និង (AB) ។ យើងគ្រាន់តែបង្ហាញថា

${\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1$

ដោយប្រៀបធៀបនឹងសមភាពខាងលើ យើងបាន

${\frac {AF'}{F'B}}={\frac {AF}{FB}}$

បូកអង្គសងខាងនឹង ១ និងប្រើ $AF'+F'B=AF+FB=AB\,$ យើងបាន

${\frac {AB}{F'B}}={\frac {AB}{FB}}$

ហេតុនេះ $F'B=FB\,$ មានន័យថា $F\,$ និង $F'\,$ ត្រួតស៊ីគ្នា (ជាចំនុចតែមួយ) ។ ដូចនេះ (AD), (BE) និង (CF) ($CF=CF'\,$) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ O និងទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់។

បំណកស្រាយចំពោះទំរង់ត្រីកោណមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទ

ចែកត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណតូចចំនួនបីគឺ ត្រីកោណ AOB, BOC និង COA ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណនិមួយៗ យើងបាន

${\frac {\sin \angle OAB}{\sin \angle OBA}}={\frac {OB}{OA}}{\text{ ; }}{\frac {\sin \angle OBC}{\sin \angle OCB}}={\frac {OC}{OB}}{\text{ ; }}{\frac {\sin \angle OCA}{\sin \angle OAC}}={\frac {OA}{OC}}$

នៅពេលយើងគុណសមីការទាំងបី អង្គខាងស្តាំនឹងស្មើ ១ ។ ស៊ីនុសចំនួន៦នៅអង្គខាងធ្វេងដោយផ្តុំតួនីមួយៗឡើងវិញនិងដាក់ជាកន្សោម គេនឹងបានទ្រឹស្តីបទទំរង់ត្រីកោណមាត្រដូចដែលបានពោល។

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ាចំពោះអង្កត់ធ្នូ

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា​ចំពោះអង្កត់ធ្នូ

តាង A B C D E និង F ជា៦ចំនុចរៀងគ្នាជុំវិញបរិវេណរង្វង់មួយ នោះគេបានអង្កត់ធ្នូប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំនុចតែមួយ លុះត្រាតែ

$AB\cdot CD\cdot EF=BC\cdot DE\cdot FA$

(ក) សំរាយបញ្ជាក់ ១

ឧបមាថា AD, BE, CF ប្រសព្វគ្នាត្រង់ M ។ តាមរយៈលក្ខណៈត្រីកោណដូចគ្នា យើងបានសមាមាត្រដូចតទៅ

• ${\frac {AB}{DE}}={\frac {MA}{ME}}$

• ${\frac {EF}{BC}}={\frac {MF}{MB}}$

• ${\frac {CD}{FA}}={\frac {MC}{MA}}$

• ${\frac {MC}{ME}}={\frac {MB}{MF}}$

ដោយគុណសមីការខាងលើបញ្ចូលគ្នា យើងបាន

${\frac {AB}{DE}}\cdot {\frac {EF}{BC}}\cdot {\frac {CD}{FA}}\cdot {\frac {MC}{ME}}={\frac {MA}{ME}}\cdot {\frac {MF}{MB}}\cdot {\frac {MC}{MA}}\cdot {\frac {MB}{MF}}$

$\Longleftrightarrow {\frac {AB}{DE}}\cdot {\frac {EF}{BC}}\cdot {\frac {CD}{FA}}\cdot {\frac {MC}{ME}}={\frac {MC}{ME}}$

$\Longleftrightarrow {\frac {AB}{DE}}\cdot {\frac {EF}{BC}}\cdot {\frac {CD}{FA}}=1$

$\therefore \quad \color {blue}AB\cdot EF\cdot CD=DE\cdot BC\cdot FA$

(ខ) សំរាយបញ្ជាក់ ២ (សំរាយច្រាស់)

ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា

ឧបមាថា

$AB\cdot CD\cdot EF=BC\cdot DE\cdot FA\qquad (1)$

គេបានក្នុងចំនោមធ្នូ ${\widehat {ABC}},\quad {\widehat {CDE}},\quad {\widehat {EFA}}$ យ៉ាងហោចណាស់មានធ្នូមួយតូចជាកន្លះរង្វង់។ ដោយសន្មតថា ${\widehat {CDE}}$ តូចជាងកន្លះរង្វង់។ តាង M ជាចំនុចប្រសព្វរវាង BE និង CF ហើយ AM កាត់រង្វង់ម្តង់ទៀតត្រង់ចំនុច X (ដែលត្រូវតែស្ថិតនៅលើធ្នូ ${\widehat {CDE}}$)

តាមសំរាយបញ្ជាក់ ក ខាងលើ យើងបាន

$AB\cdot CX\cdot EF=BC\cdot XE\cdot FA\qquad (2)$

ដោយផ្សំជាមួយនឹង (1) យើងបាន

${\frac {CD}{DE}}={\frac {CX}{XE}}\qquad (3)$

ប្រសិនបើ​ X មិនត្រួតស៊ីគ្នានឹង D ទេ ។ ឧបមាថាវាស្ថិតនៅលើធ្នូ ${\widehat {DE}}$ (សូមមើលរូបខាងស្តាំ) នោះ $CD<CX\,$ និង $DE>XE\,$ ។ យើងអាចសន្និដ្ឋាន ${\frac {CD}{DE}}<{\frac {CX}{XE}}$ វិសមភាពនេះមិនផ្ទៀងផ្ទាត់នឹង (3) ទេ។

ហេតុនេះ X ត្រូវតែត្រួតស៊ីគ្នានឹង D ។ ជំនួស X ដោយ D ក្នុង (2) យើងបាន

$AB\cdot CD\cdot EF=BC\cdot DE\cdot FA$

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស